第2章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

(3一a)枚，保持每轮两人所取的和为3即可. 因为∠ACD=36°，∠ADC=90°， 7.解：因为200÷4=50， 所以∠BAC=180°-∠DAC=∠ADC+∠ACD=126°. 所以只要甲先拿1枚，乙拿3枚；若甲拿2枚，乙拿 【变式训练2】22.5°或45°或67.5° 2枚；若甲拿3枚，乙拿1枚.每轮乙拿的枚数和甲的 枚数和起来是4，则乙一定能取到最后1枚. 解析：由折叠得∠ACD=∠A'CD=∠a=2∠ACA', 特色素养专题（一）跨学科专题 ∠A=∠A'=30° 当，点A'位于AB下方时，分三种情况：当A'D= 1.B2.A3.C4.D5.C6.C A'E时， 7.解：【分析问题】因为直线1是点B,B'的对称轴，点 C,C在l上， 所以∠ADE=∠AED=名180°-∠A)=75 所以CB=CB',CB=C'B'. 所以∠ACE=180°-∠CEA-∠CAE=∠A'ED- 所以AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'= ∠A=45°. AC'+C'B'. 由两点之间线段最短可知，AB'<AC'十B'C', 所以∠ACD=∠ACD=∠a=)∠ACE=2.5 所以AC+CB<AC+C'B. 当DA'=DE时，所以∠A'=∠DEA'=30. 所以作B关于直线1的对称点B',连接AB'与直线 易判断∠DEA'>30°. L交于点C,点C就是饮马的地方. 所以此种情况不成立。 【解决问题】如图所示，分别作点P关于OA,OB的 当ED=EA'时，如图①所示， 对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点E,F,则 所以∠EDA'=∠A'=30°. 路线PE,EF,PF即为所求.易证明CE=PE, 所以∠DEA'=180 DF=PF,则PE十EF+PF=CE十EF+DF,根据 ∠EDA'-∠A'=120. 两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为 所以∠ACE=180°-∠CEA 所求. ∠CAE=∠A'ED-∠A=90°. 1 所以∠ACD=∠A'CD=a=2∠ACE=45. 当点A'位于AB上方时，分三种情况： 当A'D=A'E时，如图②所示， 本章综合提升 【本章知识归纳】 p② 重合重合垂直平分相等相等相等相等 因为∠A'DE+∠A'ED=180°-∠DA'E=∠CA'D, 等角重合等边60°等腰一半 【思想方法归纳】 则∠ADE=∠AED-∠CA'D-15 【例1】A 所以∠ACA'=180°-∠A-∠A'EA=135°. 【变式训练1】36°或90° 【例2】54°或126°解析：如图①所示，当△ABC是锐 所以∠ACD-∠ACD-∠a-号∠ACA'-67.5 角三角形时， 当DA'=DE时，以及当ED=EA'时，由等腰三角形 的底角不可能为钝角，可判断这两种情况都不成立. 综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或45°或67.5°. 【通模拟】 1.D2.C3.B4.D5.56.57.6cm28.13 B 9.6010.311.112.4 ① 13.解：因为EB=EC,所以∠EBD=∠ECD. 因为∠ACD=36°，∠ADC=90°，所以∠A=54° 又因为∠ABE=∠ACE,所以∠ABC=∠ACB. 如图②所示，当△ABC是钝角三角形时， 所以AB=AC. D (AB=AC, 在△ABE和△ACE中，EB=EC, AE=AE, ② 所以△ABE≌△ACE(SSS. 16 所以∠BAE=∠CAE. 所以OC=5cm, 14.解：(1)如图所示，△A'B'C'即为所求， 所以OA=OC=OB=5cm. (2)如图所示，点P即为所求 P 【通中考】 17.C18.B 19.解：如图所示，过点G作GM⊥AC于点M,GN⊥ BC于点N. 连接A'C交MN于点P, 由轴对称的性质可知AC'经过点P,∠A'PN= ∠APN, 因为∠CPM=∠A'PN, 所以∠APN=∠CPM. 由作图可知CG平分∠ACB,所以GM=GN (3)如图所示，点Q即为所求。 1 因为S△B0G= BC·GN=8,BC=6,所以 GN=8 所以GM=GN=子所以Sac=2AC,GM= 8 1 ×9x-12. M 第三章勾股定理 15.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 1探索勾股定理 所以∠B=2(180-∠BAC)=2(180- 1 第1课时认识勾股定理 1.B2.B3.A4.150 120)=30°. 5.B6.C7.768.18πcm2 因为AB的垂直平分线交BC于点D, 9.28或100 所以AD=BD, 10.B11.C12.B13.C14.6015.50 所以∠BAD=∠B=30°， 16.解：如图所示.由题意易得∠ACB=∠BDE= ∠ABE=90°，所以∠ABC+∠BAC=∠ABC+ 所以∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠BAD= ∠DBE=90°，所以∠BAC=∠DBE.因为AB= 30°+30°=60°. BE,所以△ACB≌△BDE(AAS), (2)因为∠ADC=60°，∠C=30°， 所以BC=DE,AC=BD. 所以∠DAC=90°， 所以根据勾股定理的几何意义，可知S1十S2= 所以AD-名CD, 1.0. 同理，S2+S3=1.21,S3十S4=1.44, 由(1)知BD=AD, 所以S1+S2+S3+S4=2.44. 所以DC=2DB. 16.解：(1)如图所示， 44 因为DF,EG分别是线段AB,AC的垂直平分线， 所以AD=BD,AE=CE, 2B 所以AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. 17.解：同意小花的说法 因为△ADE的周长为6cm,即AD+DE+AE= 连接BD, 6 cm, 因为AB=AD=5m,∠A=60°， 所以BC=6cm. 所以△ABD是等边三角形， (2)因为AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC 所以BD=5m,∠ABD=60°. 因为∠ABC=150°，所以∠DBC=90° 边的垂直平分线L2交BC于点E, 因为DC=13m,BD=5m,所以CB2=132-52= 所以OA=OC=OB. 122,所以CB=12m. 因为△OBC的周长为16cm,即OC+OB+BC= 16cm, 第2课时验证并应用勾股定理 所以OC+OB=16-6=10(cm), 1.B 17特色素养专题（一）跨学科专题（答案P16) 1.下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对 显.下列甲骨文字是轴对称图形的是( 称图形的是( ) D 7.综合与实践 2.二十四节气是我国历法中表示自然节律变化 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开 以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久 头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，” 的文化内涵和历史积淀.请你用数学的眼光观 中隐含着一个有趣的数学问题一将军饮马. 察下列四幅代表“谷雨”“小暑”“立秋”“小寒” 如图①所示，将军从山脚下的点A出发，到达 的作品，其中是轴对称图形的是( 河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想， 怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 业业 小亮：作B关于直线L的对称点B',连接AB 与直线1交于点C,点C就是饮马的地方，此时 3.下面英语字母图标不是轴对称图形的 所走的路程就是最短的.（如图②所示） 是() 小慧：你能详细解释为什么吗？ B 4.汉字，又称中文、中国字，是汉语的记录符号. 汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多 ① ② ③ 年的历史，也是上古时期各大文字体系中唯一 小亮：如图③所示，在直线l上另取任一点C', 传承者.下列汉字中，哪个汉字可以看成是轴 连接AC',BC',B'C',我只要证明AC十CB< 对称图形？() AC'+CB. A.灵 B.运 C.确 D.山 因为直线L是点B,B'的对称轴，点C,C'在 5.以下是几种化学物质的结构式，其中属于轴对 l上， 称图形的是( ) 所以CB= .CB= HH H H OH … -CI H. 0 请完整地写出小亮的证明过程， H OH H 【解决问题】 氯丙醇 乙酸 B 如图④所示，将军牵马从军营 0 P处出发，到河流OA饮马， ④ 再到草地OB吃草，最后回到 水 甲醛 P处，试分别在边OA和OB上各找一点E, D F,使得走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助 6.“一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是 线用虚线，最短路径用实线) 我国目前发现最早的成熟文字系统，至今已有 3000多年历史，前后出土累计达15万片，单字 量约有5千左右，其图画性强的特点非常明 50 本章综合提升（答案P16) 71111111 本章知识归纳· /1/11/ 轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴 两个图形 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全 那么称这 成轴对称 两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴 轴对称 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被 的性质 对称轴 对应线段 对应角 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条 线段 线段两个端点的距离 角 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离」 轴对称性 轴对称 性质 等边对」 简单的轴 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中 对称图形 线、底边上的高 等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定 等角对 等边三角形的三条边都相等 性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的 三角形是等边三角形 直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 图案设计 应用 剪纸：原理是图形的轴对称性 ·思想方法归纳 1KH11I M,交BC于点N,分别以点M, 1.方程思想 N为圆心，大于 MN的长为半 链接本章 径画弧，两弧在∠ABC的内部相 在等腰三角形的相关计算问题中，常常 先设未知数，再根据三角形中的特殊数量关 交于点P,画射线BP,交AC于 系列出方程，利用方程思想来解决问题， 点D.若AD=BD,则∠A的度数是() A.36 B.54° 【例1】如图所示，在△ABC中，AB=AC, C.72 D.108° 以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点 △七年级·上册·数学.鲁教版H 51 【变式训练1】若等腰三角形的两个内角的度 数比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数 A在--5 是 2.分类讨论思想 链接本章 在求有关等腰三角形边的长度与角的 1 度数的问题中，常常会将边分为腰或底；角 分为顶角或底角进行分类讨论. 3.(济宁任城区期中)如图所示，在△ABC中，AD 平分∠BAC,AB=8,AC=4,且△ABD的面积 【例2】若一个等腰三角形一腰上的高与另 为8，则△ABC的面积为() 腰的夹角为36°，则此三角形顶角的度数 A.10 B.12 C.14 D.16 为 【变式训练2】几何直观如图所示，在△ABC 中，AB=AC,∠A=30°，射线CP从射线CA开 始绕点C逆时针旋转a角(0°<a<75),与射线 第3题图 第4题图 AB相交于点D,将△ACD沿射线CP翻折至 4.(淄博淄川区期末)如图所示，射线AB与射线 △A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若 CD平行，点F在射线AB上，∠DCF=70°， △A'DE是等腰三角形，则∠a的度数 AF=a(a为常数，且a>0),P为射线CD上 为 的一动点（不包括端点C),将△CPF沿PF翻 折得到△EPF,连接AE,则AE最大时， ∠DPE的度数为() A.30° B.40° C.50° D.70° 5.(青岛莱西期中)如图所示，已知AD∥BC,BD 通模拟》恤 是∠ABC的平分线，若AB=5,则 AD- 1.(泰安东平期末)如图所示的图案是轴对称图 形的是( 米 6.(烟台菜州期中)如图所示，图中等腰三角形的 ① ② ③ ④ 个数为 A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 2.(咸海临港区期末)小王将一张三角形纸片按 如图所示步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪 出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后 36 360 的图形是() 52 7.(青岛莱西期中)如图所示，在△ABC中，BD OM于点B,分别以点A,B为圆心，大于 是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,且 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内 1 DE=2cm,BC=6cm,则△BCD的面 积为 部相交于点C,画射线OC交弧AB于点D,E 为OA上一动点，连接BE,DE.那么BE十 DE的最小值是 13.(威海临港区期末)如图所示，D是△ABC的 边BC上的一点，BE=CE,∠ABE= 第7题图 第8题图 ∠ACE.试说明：∠BAE=∠CAE, 8.(烟台莱州期末)如图所示，已知AE=BE,DE 是AB的垂线，F为DE上一点，BF=10cm, CF=3cm,则AC= cm. 9.(烟台莱州期中)如图所示，线段AC,AB的垂 直平分线分别过点B,C,则∠A= 度 14.(淄博张店区期中)如图所示，已知的三个顶 点在格点上（每个小正方形的顶点叫作格 点)，直线经过格点M,N. 第9题图 第10题图 (1)画出△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关 10.(济宁任城区期中)如图所示，点D为△ABC 于直线MN对称. 的边BC上一点，且满足AD=DC,作BE⊥ (2)在直线MN上找一点P,使∠APN=∠CPM. AD于点E.若∠BAC=70°，∠C=40°，AB= (3)在直线MN上找一点Q,使|BQ-CQ最 6,则BE的长为 大.（画图过程用虚线表示，只需画图，不需说 11.(济南莱芜区期中)如图所示，Rt△ABC的斜 明理由) 边AB的垂直平分线MN与AC交于点M, ∠A=15°，BM=2,则△AMB的面 积为 第11题图 第12题图 12.(聊城临清模拟)如图所示，∠MON=40°，以 点O为圆心，4为半径画弧交ON于点A,交 △七年级·上册·数学.鲁教版m 53 15.(淄博临淄区期末)如图所示，AB=AC, 通中考 111I111/1/I/1/1II1/1/1I/1/1/0 ∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于 点D 17.(德州中考)下列选项中，直线1是四边形的 (1)求∠ADC的度数. 对称轴的是( ) (2)试说明：DC=2DB. ☑ 18.(泰安中考)如图所示，直线l∥m,等边三角形 ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m 上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数 是() E -7 A.45° B.39° C.29° D.21 19.(东营中考)如图所示，在△ABC中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC 16.(烟台福山区期中)如图所示，在△ABC中， AB边的垂直平分线L1交BC于点D,AC边 于点D,E;分别以点D,E为圆心，大于DE 的垂直平分线l2交BC于点E,l1与12相交 的长为半径作弧，两弧交于点F;作射线CF 于点O,△ADE的周长为6cm. 交AB于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的 (1)求BC的长. 面积为8，求△ACG的面积. (2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长 D 为16cm,求OA的长. 54 △