第1章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

所以∠ACN=∠DMN=90°， 所以∠AEB=∠FEB=90°. 所以AB⊥DF 又因为BE=BE, 专题一 添加辅助线构造 所以△ABE≌△FBE(SAS), 全等三角形的技巧 所以∠ABE=∠FBE, 所以BD平分∠ABC. 1.解：延长AD到点E,使DE=AD, 4.解：AE=BE 则AE=2AD,连接BE 理由：如图所示，在CE上截取CF=DE,连接BF 因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD. 在△ADE和△BCF中， 在△ADC和△EDB中， AD=BC, (AD=ED, ∠3=∠4， ∠ADC=∠BDE, DE=CF, CD=BD, 所以△ADE≌△BCF(SAS) 所以△ADC≌△EDB(SAS), 所以AE=BF,∠AED=∠CFB 所以BE=AC=6. 因为∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB= 因为AB=8,所以8-6<2AD<8+6, 180°，所以∠BEF=∠EFB. 所以1<AD<7. 过点B作BM⊥DE于点M,如图所示，所以 2.解：(1)AM平分∠BAD.理由：如图所示，过点M ∠BMF=∠BME 作ME⊥AD,垂足为点E. ∠BFE=∠BEF, 因为M是BC的中点，所以MC=MB. 在△BMF和△BME中，{∠BMF=∠BME, 因为DM平分∠ADC,所以∠1=∠2. BM=BM, 因为MC⊥CD,ME⊥AD,所以 0 所以△BMF≌△BME(AAS), ∠C=∠DEM=90°.又因为 所以BF=BE,所以AE=BE, DM-DM, 所以△DEM≌△DCM(AAS), 本章综合提升 所以MC=ME=MB,DC=DE. 【本章知识归纳】 因为AD=AB+CD=AE+DE, 首尾顺次相接180°互余大于小于等腰 所以AB=AE. 线段相等相等三边两角及其夹边两角 在△AEM和△ABM中，因为ME=MB, 一组等角的对边 两边及其夹角 ∠AEM=∠B,AE=AB, 【思想方法归纳】 所以△AEM≌△ABM(SAS), 【例1】A 所以∠3=∠4，所以AM平分∠BAD. 【变式训练1】解：(1)因为∠A:∠ABC:∠ACB= (2)AM⊥DM.理由： 3:4:5, 因为∠B=∠C=90°， 所以设∠A=3a,则∠ABC=4a,∠ACB=5a. 所以DC⊥CB,AB⊥CB,所以CD∥AB, 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 所以∠CDA+∠DAB=180°. 所以3a+4a+5a=180°， 又因为∠1=2∠CDA,∠3= ∠DAB, 解得a=15. 所以∠ACB=5a=75°.所以△ABC的最大内角的度 所以2∠1+2∠3=180°， 数为75°. 所以∠1+∠3=90°， (2)因为BD是高，所以∠BDC=90° 所以∠AMD=90°，即AM⊥DM. 因为∠CBD=40°，所以∠BCD=90°-∠CBD=50° 3.解：(1)因为AE⊥BD, 因为CE是角平分线，所以∠ACE=2∠BCD=25 1 所以∠AEB=90°=∠C, 所以∠EAC+∠ADE=90°， 因为∠A=69°，所以∠AEC=180°-∠A-∠ACE ∠DBC+∠BDC=90° 180°-69°-25°=86°. 又因为∠ADE=∠BDC, 【例2】解：因为AE⊥CD, 所以∠EAC=∠DBC. 所以∠AEC=90°， (2)延长AE,BC交于点F. 所以∠ACE+∠CAE=90°. 在△ACF和△BCD中， 因为∠ACE+∠BCF=90°， I∠FAC=∠DBC, 所以∠CAE=∠BCF. AC=BC, 因为AE⊥CD,BF⊥CD, ∠ACF=∠BCD, 所以∠AEC=∠BFC=90°. 所以△ACF≌△BCD(ASA), 在△ACE与△CBF中， 所以AF=BD. I∠AEC=∠BFC, 因为BD-2AE,AE十EF=BD, ∠CAE=∠BCF, 所以AE=FE. AC=BC, 因为BE⊥AF, 所以△ACE≌△CBF(AAS), 8 所以AE=CF,CE=BF, 即BF+FC=EC十FC. 所以AE=EF+BF. 所以BF=EC. 【变式训练2】解：(1)因为∠BAC=∠EAD, 因为BE=10m,BF=3m, 所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 所以FC=10-3-3=4(m). 即∠BAE=∠CAD, 9.解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. 在△ABE和△ACD中， 理由如下：因为AC⊥AB,BD⊥AB, ∠ABD=∠ACD, 所以∠A=∠B=90°. AB=AC, 当t=1时，AP=BQ=2cm. ∠BAE=∠CAD, 所以BP=5cm, 所以△ABE≌△ACD(ASA), 所以BP=AC. 所以AE=AD. 在△ACP和△BPQ中， (2)因为△ABE≌△ACD,所以BE=CD, (AP=BQ, 因为BD=8,DC=5, ∠A=∠B, 所以ED=BD-BE=BD-CD=8-5=3. AC=BP, 【例3】C 所以△ACP≌△BPQ(SAS). 【变式训练3】7或3 所以∠C=∠BPQ. 【通模拟】 因为∠C+∠APC=90°， 1.C2.D3.B4.D 所以∠APC+∠BPQ=90°， 5.解：因为∠A=48°，∠B=76°， 所以∠CPQ=90°， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=56° 即PC⊥PQ: 因为CD是∠ACB的平分线， (2)①若△ACP≌△BPQ, 所以∠BCD-方∠ACB-×56-28 则AC=BP,AP=BQ,可得5=7-2t,2t=xt, 解得x=2,t=1; 因为DE∥BC, ②若△ACP≌△BQP, 所以∠CDE=∠BCD=28°，∠ADE=∠B, 则AC=BQ,AP=BP,可得5=xt,2t=7-2t, 所以∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠EDC= 20 7 76°+28°=104°. 解得x=71=4 6.解：如图所示，△ABC即为所求. 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2 M B/ 或到 【通中考】 10.C a 11.4(大于2小于8的数即可) 07 D 12.解：（答案不唯一）当选择①BF=DE时. 7.解：(1)因为△ABC的两条高AD,CE交于点F, 在△ABF和△CDE中， 所以∠BEC=∠AEC=90°. (AB=CD, 所以∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90°. AF=CE, 所以∠BCE=∠DAB. BF=DE 因为AF=BC,所以△BCE≌△FAE(AAS. 所以△ABF≌△CDE(SSS), 所以BE=EF. 所以∠B=∠D.因为BF=DE, (2)因为BE=4,CF=5,所以EF=4. 所以BF+EF=DE十EF, 所以CE=CF+EF=5+4=9. 即BE=DE. 因为△BCE≌△FAE,所以AE=CE=9. 在△ABE和△CDF中， 所以S△ACF= ×CFXAE=-号×5×9=号，即 1 (AB=CD, 2 ∠B=∠D, △ACF的面积为2： 45 BE=DF, 所以△ABE≌△CDF(SAS), 8.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠AEB=∠CFD, 所以∠ABC=∠DEF, 所以AE∥CF. 在△ABC与△DEF中， 当选择②∠BAF=∠DCE时. I∠ABC=∠DEF, 在△ABF和△CDE中， AB=DE, (AB=CD, ∠A=∠D, ∠BAF=∠DCE, 所以△ABC≌△DEF(ASA). AF=CE, (2)因为△ABC≌△DEF, 所以△ABF≌△CDE(SAS), 所以BC=EF, 所以∠B=∠D,BF=DE. 同理可证：△ABE≌△CDF(SAS), 所以∠AEB=∠CFD, 2×180 所以AECF」 =90 提示：不能选择③AF=CF,此时不能判定 即∠CBE=90° △ABF≌△CDE. 2简单的轴对称图形 第二章轴对称 第1课时线段垂直平分线的性质 1 轴对称及其性质 1.A2.B3.134.C5.B 1.C2.D3.② 6.解：如图所示，连接AB,AC,分别作线段AB,AC的 4.解：如图所示. 垂直平分线，两条垂直平分线相交于点P,则点P 就是售票中心的位置（方法不唯一） 「摩天轮 5.B6.①②④7.A8.C 海盗船 9.解：(1)BAC (2)因为∠DAE=108°，∠EAF=39°， 碰碰车 所以根据对称性：∠CAF=∠EAF=39°， 7.C8.A9.A10.1011.56° 所以∠CAE=78°， 12.解：(1)如图①所示，直线m即为所求. 所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=108°-78°=30° (2)如图②所示，直线n即为所求， 10.解：如图所示. -J--J----- 11.D12.B13.C14.C15.A ① ② 16.解：(1)如图所示. 13.解：(1)因为BD是线段AE的垂直平分线， 所以AB=BE,AD=DE. 因为△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， 所以AB+BE+CE+CD+AD=19,CD+EC+ B DE=CD+CE+AD=7, 所以AB+BE=19-7=12. 所以AB=BE=6. A (2)因为∠ABC=30°，∠C=45°， 1 1 1 所以∠BAC=180°-30°-45°=105°. (2)SAB=4X6-2X2X4- ×2×4 ×2× 2 在△BAD和△BED中， 6=10. BA=BE, 17.解：(1)因为∠1=30°， BD=BD, 所以∠1=∠ABC=30°， DA-DE, 所以∠A'BD=180°-30°-30°=120°. 所以△BAD≌△BED(SSS), (2)因为∠A'BD=120°，∠2=∠DBE, 所以∠BED=∠BAC=105°， 所以∠2=号∠ABD=60, 所以∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°. 所以∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°. 第2课时角平分线的性质 (3)∠CBE的大小不变.理由如下： 1.C2.B3.B4.2.4 因为∠1=2∠ABA',∠2=2∠A'BD, 5.解：(1)因为∠B=50°，∠C=70°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. 所以∠1+∠2 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD= -2(∠ABA'+∠A'BD) 2∠BAC=30. 10本章综合提升（答案P8) 71111111 本章知识归纳· ///I/ 定义 由不在同一直线上的三条线段 所组成的图形叫作三角形 三角形三个内角的和等于 角与角 直角三角形的两个锐角 性质 三角形任意两边之和 第三边 边与边 三角形任意两边之差 第三边 按角分 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 分类 按边分 不等边三角形 三角形（包含等边三角形） 三角形 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的 ,叫作这个 的中线 三角形的中线 三角形的 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角 有关线段 角平分线 的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 三角形 从三角形的一个顶，点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足 的高 之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 性质 全等三角形的对应边 一，对应角 分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 三角形全 等的条件 分别相等且其中 相等的两个三角形全等，简写 成“角角边”或“AAS 全等 三角形 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS 用“SAS”作三角形 作图 用尺规作三角形 用“ASA”作三角形 用“AAS”作三角形 用“SSS”作三角形 应用 利用三角形全等测距离 ·思想方法归纳 链接本章) 本章中，常根据三角形三个内角的和等 1.方程思想 于180°列方程，从而求三角形某个内角的 方程思想是指在解决数学问题时，从问题中 度数 的已知量和未知量之间的关系人手，运用数学语 言将问题中的条件转化为数学模型一方程或 【例1】 在△ABC中，∠A=20°，∠B= 方程组，通过解方程（组）将未知量转化为已知 4∠C,则∠C等于() 量，最终解决问题的一种数学思想. A.32 B.36 C.40° D.128° 28 【变式训练1】如图所示，已知在△ABC中， 【例2】（淄博张店区月考）如图所示，在 BD是高，CE是角平分线. △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB上 (1)若∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,求 一点，AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长 △ABC的最大内角的度数. 线于点F,试说明：AE=EF十BF. (2)若∠A=69°，∠CBD=40°，求∠AEC的 度数 【变式训练2】（江苏期末）如图所示，四边形 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AB=AC, 点E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD, ∠EAD=∠BAC (1)试说明：AE=AD. (2)若BD=8,DC=5,求ED的长. 3.分类讨论思想 当面临的问题包含多种可能情况时，就把问 题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类 2.转化思想 进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的 答案，这种解决问题的思想就是分类讨论思想. 在研究数学问题时，我们通常是将未知的问 链接本章 题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单 本章中，常见的有(1)等腰三角形的边、 的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实 角、高等不确定时，需要分类讨论；(2)动态 际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富， 背景下三角形全等问题的分类讨论 已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可 以通过转化来获得解决问题的突破口. 【例3】（烟台菜州期中）等腰三角形的周长 为18cm,其中一边长为5cm,等腰三角形的底 Q链接本章 边长为( 在本章中，常常应用该思想把实际问题 A.5cm B.6 cm 转化为数学问题，将判断线段相等或角相等 C.5cm或8cm D.8 cm 的问题转化为判定三角形全等的问题， 【变式训练3】若AD是△ABC的高，且 BD=5,CD=2,则边BC的长为 △七年级·上册·数学.鲁教版H 29 5.(济南莱芜区期中)如图所示，在△ABC中， 通模拟 1/111/1111I1I11/111I11I/1/1/11110 ∠A=48°，∠B=76°，CD是∠ACB的平分 1.(青岛菜西期中)如图所示，AE⊥BC,BF⊥ 线，DE∥BC交AC于点E,求∠ADC的度数. AC,CD⊥AB,则△ABC中AC边上的高是线 段() A.AE B.CD C.BF D.AF DEF 6.(青岛菜西期中)用直尺、圆规作图，不写作法， 第1题图 第2题图 但要保留作图痕迹， 2.如图所示，在直角三角形ABC中，AD为斜边 已知：线段a和∠α（如图所示）. 上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列 求作：△ABC,使BC=a,AC=2a, 说法错误的是() ∠BCA=∠a. A.BF=CF B.∠C=∠BAD C.∠BAE=∠CAED.S△ABE=S△AcF 3.(泰安宁阳期中)如图所示，已知∠C=∠D, AC=AD,增加下列条件：①AB=AE; ②BC=ED;③∠1=∠2；④∠B=∠E.其中 能使△ABC≌△AED的条件有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.(济宁任城区期中)如图所示，△ABC的两条 高AD,CE交于点F,AF=BC. (1)试说明：BE=EF 第3题图 第4题图 (2)若BE=4,CF=5,求△ACF的面积. 4.(烟台龙口期中)如图所示，为了测量B点到河 对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择 了一点C,测得∠ABC=65°，∠ACB=35°，然 后在M处立了标杆，使∠MBC=65°， ∠MCB=35°，得到△MBC≌△ABC,所以测 得MB的长就是A,B两点间的距离，这里判 定△MBC≌△ABC的理由是( ) A.SAS B.AAA C.SSS D.ASA 30 8.(淄博张店区月考)如图所示，点B,F,C,E在 (2)如图②所示，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为 直线L上(F,C之间不能直接测量)，点A,D “∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为 在L异侧，测得AB=DE,AB∥DE, xcm/s,其他条件不变，当点P,Q运动到何处 ∠A=∠D 时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x (1)试说明：△ABC≌△DEF. 的值. (2)若BE=10m,BF=3m,求FC的长度. 。通中考u 10.（济南中考)如图所示，已知△ABC≌ △DEC,∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的 度数为() A.40° B.60° C.80° D.100° 11.结论开放一个三角形的两边长分别是3和5， 则第三边长可以是 .（只填一个即可) 9.(淄博桓台月考)如图①所示，AB=7cm, 12.(淄博中考)如图所示，已知AB=CD,点E, AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC= F在线段BD上，且AF=CE.请从①BF= 5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由 DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中.选 点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运 择一个合适的选项作为已知条件，使得 动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束 △ABF≌△CDE. 时，点Q运动随之结束) 你添加的条件是： (只填写一个序号). 添加条件后，试说明：AECF. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相 等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并 判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请 分别说明理由， △七年级·上册·数学.鲁教版 31