第5章5.1 等式与方程-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（冀教版2024）

第五章 一元一次方程 大单元建构 等式的基本性质 等式 方程 一元一次方程 一元一次方程 解一元一次方程 元一次方程的解 寻找等量关系 一元一次方程的应用 设未知数 列一元一次方程 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，理解方程及一元一次方程的有关概念；通过示例归纳 抽象能力 出等式的性质，能利用它们探究得到一元一次方程的解法. 掌握等式的基本性质，理解解一元一次方程的一般步骤，能够熟练地解一元一次方程，体会解法 运算能力 中蕴含的化归思想。 推理能力 经历估计方程解的过程，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 几何直观 通过列一元一次方程解决图形有关的问题，进一步体会数形结合思想的运用. 能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中 模型观念 的相等关系”，感知数学建模的基本过程 通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程， 应用意识 感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力， 能够在列一元一次方程解决实际问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判、质疑、克服 创新意识 困难、勇于担当的科学精神，形成一定的创新意识. 89 优计学案·课时通 5.1等式与方程（答案P18) 通基础>99999999999 C.由3x=2得x=3 知识点1等式的基本性质 D.由x=0得3x=3 1.应用意识已知m=n(m,n均不等于0)，下 6由2x-1=0得到x=,可分两步，按步骤完 列等式不成立的是() 成下列填空： A.m+n=2m B.m-n-0 第一步：根据 ,方程 C.m-2x=n-2x D.2m-3n=5n 两边 ,得到2x=1. 2.（2024·石家庄裕华区期末)下列等式变形正 第二步：根据 ,方程 确的是() 两边 A.若3x-2=5,则3x=-7 形到一子 B.若一8x=4,则x=一2 7.应用意识利用等式的基本性质解下列方程： C若-号x=2,则2x=6 (1)x-3=6; (2) 3x=6; D.若5x+2=-6,则5x=-8 1 (3)4x-6=-10; (4)- 2x+3=4. 3.创新意识◆如图所示，有三种不同质量的物体 “☐”“△”“O”,其中，同一种物体的质量都相 等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物 体，下列四个天平只有一个天平状态不对，则 8.老师在黑板上写了一个等式：(a十3)x= 该天平是( ) 4(a十3).嘉嘉说x=4,琪琪说不一定，当x≠4 时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法 正确吗？用等式的性质说明理由. A B O△/ W △ C D 4.根据等式的性质填空： (1)若m=n,则m十p= (2)若a=b,则a-b= 2 (3)若m=n,则 知识点3移项 3. 9.下列通过移项变形，错误的是() (4)若a≠0，ax=b,则x= A.由x+2=2x-7,得x-2x=-7-2 知识点2利用等式的基本性质解方程 B.由x+3=2-4x,得x+4x=2-3 5.下列变形正确的是() C.由1-2x=3,得2x=1-3 A.由2+x=3得x=3十2 D.由2x-3+x=2x-4,得2x+x+2x= B.由2x=3x+4得2x-3x=4 -4+3 -七年级·上册·数学刀 90 10.将下列方程中含有未知数的一项移到方程的15.如图所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按 一边，将不含未知数的常数项移到方程的 黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图 一边 案.若第n个图案中有2023块白色纸片，则 n的值为 (1)6+2x=3x-4; (2)x5 33=4x. ◇◇◇ 16.对于方程3x一3=2x一3，王强同学是这样 解的： 方程两边同时加上3，得3x=2x. 方程两边同时除以x,得3=2. 易错区混淆了等式的基本性质，而出错 所以此方程无解， 11.根据等式的基本性质，下列各式变形正确的 王强的解题过程是否正确？如果正确，指出 是() 每一步的理由；如果不正确，请加以改正。 A.若8-，则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=8,则x=-2 通素第》 通能力 ◆>>>>>>>>>>>>>>>>》>>>2>>>>>》 17.模型观念》能否从等式(3a+7)x=4a一b得 12.(2024·承德期末)下列说法正确的是() 到-忽为什么？反过来，能吞从等式 A.1不是单项式 三g得到3a+7Dx=4a一b?为什么？ x B.若m=n,则m十1=n-1 C.一x2y是3次单项式 D.若ac=bc,则a=b一定成立 13.已知2m一1=2n,利用等式的性质比较m,n 的大小是() A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定 14.几何直观》如图所示，在下列四个天平中，相 同形状的物体的质量是相等的，其中图①中 的天平是平衡的，根据图①中的天平判断后 三个天平仍然平衡的有() ① ④ A.0个B.1个 C.2个 D.3个 91 优计学案·课时通=9a-21b+3 【例2】思路分析：加“z十y=”与红y= ”看作一 1 =3(3a-7b)+3. 因为3a-7b=-3, 个整体，代入化简后的代数式中求解。 所以原式=3×（一3）十3=一6. 11.解：(1)3(x+y)2-5(x+y)2+7(x+y)2= 解：因为x十y=日2y=名 (3-5+7)(x+y)2=5(x+y)2 所以(x+3y-3xy)-2(xy-2x-y) (2)因为a2+2a+1=0,所以a2+2a=-1, =x+3y-3xy-2xy+4x+2y 所以2a2+4a-3=2(a2+2a)-3=-2-3=-5. =5x+5y-5xy 12.解：因为a,c在原点的左侧，b在原点的右侧，所以 =5(x+y)-5xy b>0,c<0,a<0. 因为la=1,|b|=2,c|=4, 号-5x(》 二5X5 所以a=-1,b=2,c=-4. =3.5. (1)3b+2a-c=6-2+4=8. 【变式训练2】解：因为x十3y=6,所以2(x十3y十 (2)A-2B=3a2-4ab-2(a2+2ab) 2)-2=2×(6+2)-2=14. =3a2-4ab-2a2-4ab 【通模拟】 =a2-8ab. 1.B2.C3.A 所以原式=(-1)2-8×(-1)×2=17. 4.-85.-10 13.解：(1)A,C两站之间的距离AC=AB十BC= 6.解：(1)由题意得a十3=0，b-2=0, (a-b)+(2a-b)=3a-2b. 所以a=-3,b=2. (2)根据题意，得CD= (3a-26-1-(2a-b) (2)5a2+2ab-3b2-ab+3b2-5a2=ab, 当a=-3,b=2时，ab=(-3)X2=-6. 3 2a-b-1. 7.解：(1)B=4a2b-3ab2-A =4a2b-3ab2-(3a2b-2ab2) 因为3a-2b=180km, =4a2b-3ab2-3a2b+2ab2 所以3 a-b=90km. =a26-ab2. (2)B=ab-ab 所以CD=90-1=89(km). =(-1)2×2-(-1)×2 答：C,D两站之间的距离CD是89km. =1×2-(-1)×4 14.解：2x2+ax-y+6-(2bx2-3x十5y-1) =2十4 =2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1 =6. =(2-2b)x2+(a+3)x-6y+7. (3)A-B 因为两个整式的差不含x和x2项， =3a2b-2ab2-(a2b-ab2) 所以2-2b=0,a+3=0. =3a2b-2ab2-a2b+ab2 解得a=-3,b=1. =2a2b-ab2」 4(a2+2b3-a2b)+3a2-2(4b3+2a2b) =4a2+8b3-4a2b+3a2-8b3-4a2b 8.解：(1)因为多项式3m2一2m十1中一次项的系数 是一2， =7a2-8a2b. 所以点A对应的数为一2. 当a=-3,b=1时， 因为单项式5m2n4的次数是6， 7a2-8a2b=7×(-3)2-8×(-3)2×1=7×9 所以点B对应的数为6. 8×9×1=63-72=-9. 所以点A对应的数为一2，点B对应的数为6. 本章综合提升 (2)若点P在A点左侧， 【本章知识归纳】 因为P点到A点，B点距离和为10， 1.(1)整式(2)不属于多项式多项式 所以-2-x十6-x=10, 2.(1)单项式单项式 解得x=一3； (2)系数和 若点P在A点、B点中间， 3.多项式 项常数项次数 因为AB=8, 4.同类项 所以不存在这样的点P; 5.(1)同类项(2)不变 若点P在B点右侧， 6.相同相反 因为P点到A点，B点距离和为10， 7.同类项 所以x-(-2)十x-6=10, 【思想方法归纳】 解得x=7. 【例1】思路分析：因为所给的两个单项式互为相反数， 所以点P对应的数x为一3或7. 则它们是同类项，它们相同字母的指数相同，由此可 列出关于m,n的方程，解方程可得m,n的值. 第五章一元一次方程 1 5.1等式与方程 【变式训练1】B 1.D2.D3.A 18 4.(1)n+(2)0(3) 3n(4) 10.B11.D 12.D 5.B 1 6.等式的基本性质1同时加上1等式的基本性质2 13.414.x-3x=6 同时除以2 15.解：(1)由题意知m+1≠0，|m=1,所以m=1. 7.解：(1)x一3=6， (2)由(1)知方程为2x+2=0,解得x=一1. 两边都加上3，得x一3十3=6+3，所以x=9. 16.解：把y=6代入方程的两边时，左边=3×(2×6十 1 (2)-3x=6, 1)-39,右边-2×(1+6)+3×(6+3)=41.因为 左边≠右边，所以y=6不是原方程的解. 两边都乘-3，得x=一18. 把y=8代入方程的两边时，左边=3X(2X8十 (3)4x-6=-10, 1)=51,右边=2×(1+8)+3×(8+3)=51.因为 两边都加上6，得4x一6+6=-10十6， 左边=右边，所以y=8是原方程的解，所以小亮的 所以4x=-4, 判断正确. 两边都除以4，得x=一1. 17.解：(1)设学校实际租借客车x辆，则可以乘坐42x (4)- 22+3=4, 名学生.列方程为126十42x=42×16. (2)设客车行驶了y小时，则自行车行驶了(y十1) 两边都减去3，得-一方+3-3=4一3， 小时. 列方程为10(y+1)=40y. 所以一名=1， 5.3解一元一次方程 两边都乘-2，得x=一2. 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 8.解：琪琪的说法正确.理由：当a十3=0时，x为任意 1.C2.D3.C4.A5.B6.B 实数，即当x≠4时，这个等式也可能成立 7.-5 9.D 8.解：(1)移项，得8y一5y=3十3.合并同类项，得 10.解：(1)移项，得6十4=3x一2x. 3y=6.将y的系数化为1，得y=2. (2)移项，得4x-3x十2x=-5十3.合并同类项，得 (②)移项，得亏-4红=号 5 3x=-2.将x的系数化为1，得x三-名. 11.A12.C13.A14.C 15.674 9.解：设x天后两厂剩下的原料相等. 16.解：王强的解题过程不正确.改正：3x一3=2x一3， 由题意，得120-15x=96-9x. 方程的两边都减去2x,得3x一3一2x=2x一3 移项，得一15x十9x=96一120. 2x,所以x一3=-3.方程的两边都加上3，得x 合并同类项，得一6x=一24. 3十3=一3十3，即x=0. 将x的系数化为1，得x=4. 17.解：从等式(3a+7)x=4a-b不一定能得到x= 答：4天后两厂剩下的原料相等， 8十名理由：当a=一 7 10.解：错在第①步，移项时一24没有变号. 3时，3a+7=0, 改正：移项，得5x一8x=一6+24， 根据等式的基本性质2，等式两边不能同时除以0， 合并同类项，得一3x=18, 所以不能得到一 系数化为1，得x=-6. 11.B12.A13.C14.-4 反过来，能从等式x=铝十9得到(30+)z- 1316号 4a-b. 4a-b. 17,解：把x-专代入方程3m十8x-号十x,解 理由：由x=3a+7知3a+7≠0， 得m=-1, 等式两边同时乘(3a十7)，得(3a+7)x=4a-b, 把m=一1代人方程m十2x=2m-3x, 质以能从等式x二+得到(3a十7)z=a一by 得-1十2x=-2-3x, 1 5.2一元一次方程 解得x=一 1.D2.D3.14.①②⑥5.B 18.解：设城中有x户人家 6.-3 1 依题意，得x+号-10，解得x=75。 7.3y=2y-2 答：城中有75户人家. 8.10x+1=10+x+18 第2课时利用去括号法解一元一次方程 9.解：(1)设学生有x人，列方程为4x十2=5x一5. 1.B2.D3.-9 (2)设甲、乙两地的距离约为x千米，列方程为11= 4.解：(1)去括号，得6+x一7十x=0.移项，得x十x= 8+1.5(x-3). 7-6.合并同类项，得2x=1.将x的系数化为1，得 19