第2章2.7 角的和与差-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（冀教版2024）

钟走360× 0=6°，从时针、分针重合到第一次垂直 (2)原式=179°59'60”-56°23'48"=123°3612” 4.解：因为∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+90°= 130°，∠BOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°， 所需要的时间为90÷(6-0.5)二180（分）， 所以∠AOC+∠BOD=130°+120°=250°. 则一次垂直到下一次垂直经过的时间：(2×90)÷ 5.B6.D7.20° (6-0.5)=360 (分). 8.解：因为∠AOB=130°，OE是∠AOB的平分线， 24×60-）÷T 180)-360 所以∠BOE=∠AOE=号∠AOB=S5 =43.5(次)，取整为43次，故 因为∠COB=90°， 总次数为43+1=44（次）. 所以∠EOC=90°-65°=25°， 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数有44次. 所以∠AOC=∠AOE-∠COE=65°-25°=40°. 15.解：(1)题图①中有2条射线，则角的个数为9.B 2×(2-1)=1(个). 10.解：(1)因为∠B0C=40°， 2 所以∠AOC=180°-40°=140°. (2)题图②中有3条射线，则角的个数为 因为OE是∠AOC的平分线， 3×(3-1D=3(个). 2 所以∠A0E=号∠A0C=70. (3)题图③中有4条射线，则角的个数为 (2)∠COD,∠BOD 4×(4-1)=6(个). (3)∠BOE 2 11.B12.C13.15°14.67.5°15.10°或70° (4)由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有 16.解：(1)根据题意，得∠APB=90°， (n十2条射线，则角的个数为a+1),n+2》(个)。 则∠BPD=180°-∠APC-∠APB=50°. 2 2.6角大小的比较 (2②)根据角平分线的定文，得∠APM=2∠APC, 1.B2.D3.D ∠BPN=2∠BPD. 4.C5.D 6解：如图所示，以点B为圆心，任意长为半径画弧， 因为∠APC+∠BPD=180°-∠APB=90°， 分别交AB,BC于点E,F,然后以点E为圆心，以 所以∠APM+∠BPN=45°， EF为半径作弧，与已画的弧交于点D,作射线BD, 则∠MPN=∠APM+∠BPN+∠APB=45°+ 90°=135°. ∠ABD即为所求. 17,解：1ABC80号 40 ABD 10 (2)因为∠ABC=50°，∠ABE=15°， 所以∠EBC=∠ABC+∠ABE=65°. 因为BE平分∠CBD, 所以∠CBD=2∠EBC=130°， 7.A8.A9.D10.B 所以∠ABD=∠CBD-∠ABC=80° 11.∠BOC<∠COD<∠AOC=∠BOD<∠AOD 专题七角度的计算 12.解：(1)另一边是0C. (2)这些角不相等 1.解：设∠COD=x.因为∠AOC=60°，∠BOD=90°， 所以∠AOD=60°-x.所以∠AOB=90°+60°- ∠AOB>∠BOC>∠COD>∠DOE 13.解：方法①：因为∠ABC=46°，∠DEF=67°，所以 x=150°-x.因为∠AOB是∠DOC的3倍，所以 ∠DEF>∠ABC. 150°-x=3x.解得x=37.5°.所以∠AOB=3× 方法②：如图所示 37.5°=112.5°. 2.解：(1)因为OE平分∠AOC,OF平分∠DOB,所以 ∠B0F=∠B0C+∠D0C+∠POD=号∠AC+ ∠0OD+号∠BOD=?(∠A0C+∠BOD)+ E(B) FC 把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF ∠COD=2∠A0B-∠C0D)+∠COD=2∠A0B+ 和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形中可 以看出∠DEF>∠ABC. 2∠a0D. 2.7角的和与差 因为∠AOB=160°，∠C0D=40°， 1.D 所以∠EOF=80°+20°=100°. 2.152° 3.解：(1)原式=895960”-2812'36"=61°47'24". (②)由(I)得∠B0F-号∠A0B+∠C0D. 11 因为∠AOB=∠a,∠COD=∠B, 8.3 所以∠BoP=3∠+号∠B∠a+∠A. 9.50° 10.点C60 (3)若∠AOB内部有顺次的四条射线OE,OC,OD, 11.解：(1)原式=69°1848" OF,且OE平分∠AOC,OF平分∠DOB, (2)原式=3910'39" 则∠EOF=2∠AOB+∠COD), 12.解：(1)如图所示，B'C'即为所求. (2)如图所示，∠ECB'即为所求 3.解：(1)9060100 (2)如图所示. 20° B 13.解：(1)22.5 2.8 平面图形的旋转 (2)因为∠B0C= 3∠AOB, 1.C2.D 3. ( 4.A5.90°10 所以∠BOC=30°. 6.2cm 当OC在∠AOB内时， 7.解：(1)由旋转的性质，得∠B=∠E=40°， ∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°. 因为∠A=60°， 因为OE平分∠AOC, 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=80°， 因为将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使 所以∠B0C-号∠A0C=30 点A的对应点D落在边BC上， 当OC在∠AOB外时， 所以旋转角的度数为80°. ∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°. (2)由旋转的性质可得BC=CE=7,CD=AC=5, 因为OE平分∠AOC, 所以BD=BC-CD=2. 8.解：(1)如图①所示，线段AC即为所求. 所以∠B0C=2∠A0C=60. (2)如图②所示，线段BD即为所求 (3)正确. (3)如图③所示，三角形BDE即为所求 理由：因为OE平分∠AOC,OD平分∠BOC, (4)如图④所示，三角形ADF即为所求 所以∠E0C=号∠A0C,∠DOC- 2∠BOC, 所以∠EOD=∠E0C+∠D0C=号∠A0C+ C.①D ③ ∠B0C=Z∠A0B=45 1 (4)如图①所示， T-1 +-1- -- 700 ④ 9.A10.C11.412.120 13.解：(1)旋转中心是点A. ① (2)逆时针旋转了60°. 当0°<a≤90°时，因为OE,OD分别是∠AOC和 (3)点M到了AC的中点处 ∠BOC的平分线， 14.解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示. D D 所以∠EOC=2∠AOC, ∠D0C=∠B0C. 因为∠EOD=∠EOC-∠DOC, D ∠AOB=∠AOC-∠BOC, (2)周长-2×8x+寻×8x+寻×8元=8元 1 1 所以∠EOD= ∠AOC- 1 ∠BOC= 阶段检测五（2.5~2.8) 1.D2.B3.B4.C5.> 合∠A0B=456 6.3 当90°<a<180时，若OC在OB的下方， 7.22.5 如图②所示. 122.7角的和与差（答案P11) 通基>99999沙99999999 B 知识点1角的和与差 D 1.几何直观》如图所示，∠AOD一∠AOC=( 第6题图 第7题图 A.∠AOB B.∠BOC 7.如图所示，点O在直线AB上，OD是∠BOC C.∠BOD D.∠COD D 的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数 为 8.如图所示，O为直线DA上一点，∠AOB= A 130°，OE为∠AOB的平分线，∠COB=90°， 第1题图 第2题图 求∠AOC和∠EOC的度数. 2.如图所示，∠AOC和∠DOB都是直角，如果 ∠DOC=28°，那么∠AOB= 3.运算能力》计算：(1)90°-281236"； (2)180°-56°2348". 4.如图所示，∠AOB=40°，∠BOC=90°， ∠COD=30°，求∠AOC+∠BOD的度数. 知识点3互余与互补 B、 D 9.(2024·秦皇岛期中)已知一个角是50°，那么 40°入 30 0 这个角的补角的度数是() A.150° B.130° C.50° D.40° 知识点2角的平分线 10.几何直观》如图所示，已知点O是直线AB 5.如图所示，∠AOB的平分线是( 上的一点，∠BOC=40°，OD,OE分别是 /B A.射线OB ∠BOC,∠AOC的平分线. D B.射线OE (1)求∠AOE的度数. C.射线OD (2)直接写出图中与∠EOC互余的角： D.射线OC 6.如图所示，OC是∠AOB的平分线，OD是 (3)直接写出∠COE的补角： ∠BOC的平分线，那么下列各式正确的 是() A.∠QOD-2∠A0BB∠A0D-∠A0B C.∠BOD= ∠A0DD.∠B0C-号∠A0D 一七年级·上册·数学山 56 易错固混淆余角和补角 (2)如图②所示，若PM平分∠APC,PN平 11.(2024·石家庄赵县期末)一个角的补角是它 分∠BPD,求∠MPN的度数. 的余角的3倍，则这个角等于() A.30° B.45 M C.60° D.90° 2 0通能力>2>9>9>22929>2> 12.(2024·石家庄裕华区期末)如图所示，将长 方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F 在BC上，不与B,C重合)，使点C落在长方 形内部点E处，若FH平分∠BFE,则 ∠GFH的度数a是( 通素养》99 H 17.(2024·保定阜平期末)已知∠ABC=50°，射 线BD在射线BA的上方，BE平分∠CBD. A.90°<a<180° (1)如图①所示，当射线BE在射线BA的下 B.0°<a<90° 方，且∠ABD=30°时，求∠ABE的度数. C.a=909 请补全下面嘉嘉的解答过程； D.α随折痕GF位置的变化而变化 13.如图所示，OM是∠AOB的平分线，OP是 解：因为∠ABC=50°，∠ABD=30°， ∠MOB内的一条射线.已知∠AOP比∠BOP 所以∠CBD=∠ +∠ABD= 大30°，则∠MOP的度数是 度 因为BE平分∠CBD, 所以∠DBE= ∠CBD=度， 所以∠ABE=∠DBE-∠=度. (2)如图②所示，当射线BE在射线BA的上 第13题图 第14题图 方，且∠ABE=15°时，求∠ABD的度数， 14.如图所示，∠BOC=45°，∠AOB=∠COD= 90°，OE平分∠AOD,则∠AOE= 15.已知∠AOB=30°，从∠AOB的顶点O引射 线OC,如果∠AOC:∠AOB=4：3,那么 ∠BOC= ② 16.(2024·廊坊安次区期末)如图所示，三角板 ABP的直角顶点P在直线CD上，点A,B 在直线CD的同侧. (1)如图①所示，若∠APC=40°，求∠BPD 的度数 57 优计学案·课时通 专题七角度的计算（答案P11) 类型1方程思想 甜类型3分类思想 1.如图所示，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°， 3.(2024·沧州青县期末)阅读下面材料，并回答 ∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数， 问题： 如图①所示，∠AOB与∠BOC互余，且 ∠AOB=2∠BOC,若∠AOE=40°，请你补全 图形，并求∠BOE的度数. 以下是娜娜的解答过程： 解：如图②所示，因为∠AOB与∠BOC互余， 所以∠AOB+∠BOC=, 又∠AOB=2∠BOC,即∠BOC=2∠AOB, 所以∠A0B+号∠A0B=90, 解得∠AOB=. 瞄类型2整体思想 由题意得∠AOE=40°， 2.如图所示，已知∠AOB内部有顺次的四条射 所以∠BOE=∠AOE+∠AOB= 线OE,OC,OD,OF,且OE平分∠AOC,OF 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有 平分∠DOB 一种情况.” (1)若∠AOB=160°，∠COD=40°，求∠EOF 请完成下面两个问题： 的度数， (1)请你将娜娜的解答过程补充完整， (2)若∠AOB=∠a,∠COD=∠3，求∠EOF (2)根据静静的想法，请你在图③中补画出另 的度数. 一种情况，并直接写出此时∠BOE的度数为 (3)从(1)(2)的结果，你能看出什么规律吗？ /B 一七年级·上册·数学山 58