第3章3.2 一元一次方程及其解法-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（沪科版2024）

16.解：不能从等式(a+2)x=3a-1得到x=30-,3.解：(1)不正确.x-13-7. a十2， (2)正确. 因为a十2=0时不符合等式的基本性质2. (3)不正确.3x-x=1十2. 能从z二3a一2得到(a十2)x=3a一1，因为它符合 (4)不正确.8x-7x=-2. 4.解：(1)移项，得-5.x十6x=一5. 等式的基本性质2. 合并同类项，得x=-5. 1 17.解：)两边都减去1，得x=3x一1，两边都减去☐ (2)移项，得-3 14 x-x=-33-3 1 1 3x,得3x=-1.两边都乘3，得x=一3. 合并同类项，得-？=兰 14 (2)两边都加上(2x十6)，得3x一6十2x十6=一2x 1+2x+6,即5x=5. 两边都除以-子，得x=尽 3· 两边都除以5，得x=1, (3)移项，得3x十4x=1十20. 18.解：(1)设该数为x,则它的相反数为-x, 合并同类项，得7x=21. 得2×(-x)-40%z=2 两边都除以7，得x=3. (2)设长方形的长为y,则宽为号y, (④移暖，得+=-6-4 合并同类项，得y=一10. 得20+号)=10. 5.B6.D (3)设原来的正方形铁皮的边长是acm,则剩余部 7.D解析：设●是m,则原方程可转化为mx一3 分的宽为(a一2)cm, 2x+9.把x=-2代入，得-2m-3=一4+9.移项、 得a(a-2)=80. 合并同类项，得2m=一8.解得m=一4，即●是-4. 19.解：(1)在等式a=c的两边都乘b,等式仍成立，即 89.5 ab=bc,故正确 (2)当b=0时，a=c不一定成立，故错误. 10.解：因为x=3是2a+3x=12的解，所以2a+3× (3)因为c2+1>0,在等式a(c2+1)=b(c2+1)的 3=12,解得a=则原方程可化为3-3z=12.移 两边都除以(c2十1)，等式仍成立，即a=b,故 正确. 项、合并同类项，得一3x=9.两边都除以一3，得 x=-3. (4)因为c2十1>0，所以在等式a=b的两边都除以 第3课时去括号解一元一次方程 (e+1,等式仍成立，即41故正确。 b 1.D2.D3.B 3.2一元一次方程及其解法 4.2x-4-12x+3=9x=-1 第1课时一元一次方程 5.6 1.C2.B3.A4.B5.D6.3x-15=120 6.解：(1)去括号，得2x-2-3=x, 7.一1解析：因为关于x的方程(m-1)xm十2m- 移项，得2x一x=2十3， 4=0是一元一次方程，所以m一1≠0且|m|=1,解 合并同类项，得x=5. 得m=-1. (2)去括号，得-2x十2=1-3x. 8.D9.A 移项，得-2x十3x=1一2. 10.解：(1)由于乙班植树x株，乙班植树的株数比甲班 合并同类项，得x=一1. 的一半多10株，即甲班植树为2(x一10)株；甲班 (3)去括号，得4x十64=-2x-2. 植树的株数比乙班多20%，即甲班植树为(1十 移项，得4x十2x=一2-64. 20%)x=1.2x株. 合并同类项，得6x=一66. (2)由(1)，得1.2x=2(x-10). 两边都除以6，得x=-11. (3)将x=25代入1.2x=2(x-10),得左边=30， (4)去括号，得2x-2+8x一12=6-2x-2. 右边=30，左边=右边，x=25是该方程的解，此时 移项，得2x+8x+2x=6-2+2+12. 甲班植树的株数为1.2x=30≠32，所以乙班植树 合并同类项，得12x=18. 的株数是25株，甲班植树的株数是30株，而不是 32株. 两边都除以12，得x=2 3 第2课时移项、合并同类项解一元一次方程 7.C8.D9.A10.B11.2 1.D2.(-3x)3 12.解：根据题意，得3(2y-2)-(2y十3)=1， 14 去括号，得6y-6-2y-3=1, x=a-2 2a-3当2a-3=0,即a= 移项、合并同类项，得4y=10,解得y一) 13.解：(1)去括号，得12x-12+24-7=-x. 此时a-2=一2 ≠0，方程无解. 移项，得12x十x=12-24+7. 18.解：(1)4 合并同类项，得13x=-5. (2)因为关于x的方程4x+2m+1=0与方程 5 两边同除以13，得x=一13 5x-(3n-2)=0互为“反对方程”， 所以3n-2=4,-(2m+1)=5, (2)去括号，得3y-21-20+5y=15, 解得n=2,m=-3, 移项，得3y+5y=15+21十20， (3)关于x的方程3x+2b一1=0的“反对方程”为 合并同类项，得8y=56, (1-2b)x-3=0, 两边同除以8，得y=7 (3)去括号，得4x+6x-9=12-x+4, 由方程3x+26-1=0,得x=-1-26 3 移项、合并同类项，得11x=25, 因为方程(1-2b)x-3=0有整数解， 25 两边同除以11，得x=: 所以1-26≠0，得x=1-2b' 3 4)去括号，得36x+2x=732+1, 因为x=1-26 12和工6都为整数， 移项，合并同类项，得=-5 所以1-2b=3或1-2b=一3， 解得b=-1或b=2. 两边同乘品得x=品 第4课时去分母解一元一次方程 14.解：因为y=1是方程2-(m-y)=2y的解，所以1.B2.C3.B4.8x-3(1-2x)=24 2-(m-1)=2. 5.三等式的基本性质1 去括号，得2-m十1=2. 6.-2 移项，得-m=2-2-1. 7.解：去分母，得2(2x十1)-(5x-1)=-6. 合并同类项，得一m=一1. 去括号，得4x+2-5x+1=一6. 两边都除以一1，得m=1. 移项、合并同类项，得一x=一9. 故所求方程为x-3-2=2x-5. 两边同除以一1，得x=9. 移项，得x一2x=一5+3十2. 合并同类项，得一x=0. 8解：根据题意，得2红+3一2x=4 两边都除以一1，得x=0. 去分母，得2x-1十9-6x=12, 15.解：将y=3代人方程3y十a=2y十4， 移项、合并同类项，得一4x=4, 得3×3十a=2×3+4. 两边同除以一4，得x=一1. 解该方程得a=l. 9.D10.A11.A 所以原方程为3(y+1)=2y+4. 12.解：(1)原方程可变形为4(2x+1)一2(x-2)=2. 去括号，得3y十3=2y十4. 去括号，得8x+4-2x十4=2. 移项、合并同类项，得y=1. 移项、合并同类项，得6x=一6. 1.解：因为a⑧b=a2-2b, 两边同除以6，得x=一1. 所以1☒(-x)=12-2×(-x)=1+2x. (2)原方程化为10x,20_10x+10=3. 因为28[18(-x)]=6, 2 5 所以28(1十2x)=6, 去分母，得5x-10-(2x+2)=3. 即22-2(1+2x)=6, 去括号，得5.x-10-2x-2=3. 去括号，得4-2-4x=6, 移项，得5x-2x=3十10+2. 移项，得-4x=6-4十2， 合并同类项，得3x=15. 合并同类项，得一4x=4, 两边同除以3，得x=5. 两边同除以一4，得x=一1. 13.解：由题意，得2m-5m十2_7m=5. 17.解：去括号，得2ax-a=3x-2. 3 2 移项，得2ax-3x=a-2. 去分母，得12m-2(5m+2)-3(7-m)=30. 合并同类项，得(2a-3)x=a-2. 去括号，得12m-10m-4-21+3m=30. 所以，当2a-3≠0时，即a≠号时，方程有唯一解 移项，得12m-10m+3m=30+4+21. 合并同类项，得5m=55. 15 两边都除以5，得m=11. 11.解：设玻璃杯中水面下降的高度为x毫米，根据题 14解：法指号，得2江-+子-日号 2 意，得3.14×452x=45×314×135.解得x=300. 3 答：玻璃杯中水面下降的高度为300毫米 去分母，得24x一6x十3x一3=8x一8. 12.解：设养鸡场的宽为xm,由题意，得小王设计的养 移项，得24x一6x+3x-8x=3-8. 鸡场：x+5+2x=35.解得x=10,则长为x+5= 合并同类项，得13x=-5. 15>14,不符合实际. 两边都除以13，得x三一3 小赵设计的养鸡场：x+2十2x=35.解得x=11,则 长为x十2=13<14，符合实际. (2去分母，得号[2（合--1]-1=2， 所以小赵设计的养鸡场符合实际，面积为11×13= 143(cm2). 即2[2（分--1]=3 13.解：设长方体的宽为x厘米，抽出隔板后的水面高 度为h厘米 去分母，得（份）-1=6， 由题图可知，长方体的长为130+70=200（厘米）， 即（分x-1小=7。 则200-90+130)z×40+70+90)z×50=200. 2 2 x·h. 去分母，得2x一1=14， 解得h=44. 答：隔板抽出后水面静止时箱内的水面高度为 即7x=15, 44厘米. 两边同乘2，得x=30. 第2课时行程问题 15.解：按小明的方法去分母，得2(2x一1)= 1.D2.C3.C4.45.D 3(x+a)-1. 6.解：(1)设轮船在静水中的速度为x千米/时. 根据题意，得2(x十5)=3(x-5). 解得x=3a+1=2,所以a= 3 解得x=25. 答：轮船在静水中的速度为25千米/时. 原方程为2x二1x+ 3 -1, (2)由(1)，得2×(25+5)=60（千米）. 3 2 答：甲、乙两港间的距离为60千米. 去分母，得2(2x-1D=3e+号)一-6 7.C8.B9.B10.C11.D 12.2.5(x-3)=2(x+3) 去括号，得4x-2=3x十1一6， 13.解：(1)设若两车相向而行，出发后x小时两车相 移项、合并同类项，得x=一3. 遇.根据题意，得80x十120x=600.解得x=3.所 16解：0)-号 以出发后3小时两车相遇. (2)设若两车背向而行，y小时后两车相距800千米. (2)因为两个互为“阳光方程”的一个一元一次方程 根据题意，得80y+120y+600=800.解得y=1. 的一个解为x=k,所以另一个解为1一k. 即1小时后，两车相距800千米. 又因为这两个“阳光方程”的解的差为5， (3)设若两车同向而行，快车在慢车后面，a小时后 则k-(1一k)=5或(1-k)-k=5, 快车追上慢车. 解得k=3或k=一2.故k的值为3或一2. 根据题意，得120a=80a+600. (3)①y+1-y-1②y=-2026 解得a=15.即15小时后，快车追上慢车. 3.3一元一次方程的应用 (4)设若两车同向而行，慢车在快车后面，b小时后 第1课时形积变化问题 两车相距760千米. 16)2 根据题意，得120b+600=80b十760. 1.D2.212.563.(?）π×5=6x 解得b=4.即4小时后，两车相距760千米。 4.解：设甲容器的高度为xcm. 14.解：设冬冬家到博物馆的距离为x千米. 根据题意，得80x=100(x一8)， 解得x=40. 根据愿意，相品-荒+0+品 所以甲容器的容积是 解得x=24. 80×40=3200(cm3). 答：冬冬家到博物馆的距离为24千米 5.B6.D7.B8.D 第3课时利率问题和销售问题 9.20(27+2x)=11(54+2x)10.2cm 1.B2.5000+5000x=50803.B 163.2一元一次方程及其解法 第1课时 一元一次方程（答案P14) 通基>922>92>2>>2>2 易稻固只考虑到“最高次数为1”而忽略一次项 系数不等于零 知识点1一元一次方程的概念 7.(2024·阜阳月考)已知关于x的方程(m一 1.抽象能力》下列方程一定是一元一次方程的 1)xm十2m一4=0是一元一次方程，则 是() m= A.x+3y=1 B.x2+2x-5=0 通能力》2%2 C.3x-6=0 8.下列方程：①3x-1=2x十+1②多-1-x; D.1 x 4 =7一 2.如果方程(m一1)x+2=0表示关于x的一元 +日(-》：@名+1+ 一次方程，那么m的取值范围是( ) 3x十1其中解为x=2的有( 4， A.m≠0 B.m≠1 A.①②③ B.①③④ C.m=-1 D.m=0 C.②③④ D.①②④ 知识点2一元一次方程的解 9.把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本， 3.关于x的一元一次方程2x十m=5的解为 则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本.设 x=1,则m的值为( ) 这个班有学生x人，下列方程正确的是( ) A.3 B.-3 A.3x+20=4x-25B.3x-25=4x+20 C.7 D.-7 C.4x-3x=25-20D.3x-20=4x+25 4.下列方程中，解为x=一2的方程是( 10.应用意识在这一次植树活动中，甲班植树的 A.2x+5=1-x B.3-2(x-1)=7-x 株数比乙班多20%，乙班植树的株树比甲班 13 C.x-5=5-x D.1-4x=4x 的一半多10株，若乙班植树x株 (1)列两个不同的含x的代数式表示甲班植 知识点3根据题意列一元一次方程 树的株数。 5.(2024·池州期末)已知九年级某班30位学生 (2)根据题意列出以x为未知数的方程. 种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种 (3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为 2棵树.设男生有x人，则() 25株和32株。 A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72 D.3x十2(30-x)=72 6.某厂10月份的产值是120万元，比2月份的产 值的3倍少15万元.若设2月份的产值为 x万元，由题意可列方程为 63 优计学案·课时逼 第2课时移项、合并同类项解一元一次方程（答案P14) 通基础 >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> +4= 3 4y6. 知识点1移项 1.下列各题中的变形，属于移项且移项正确的 是() A.由2x-2y=1,得-1=2y+2x B.由6x-1=x+5,得6x-1=5+x 易错移项时，忘记改变项的符号而致错 C.由4-x=3x-2,得3x-2=4-x 5.方程5x+4=2x一5移项后，正确的是( ) D.由2-x=x-2,得2十2=x十x A.5x+2x=4-5 2.将方程5x一3=2十3x移项，得5x十 B.5x-2x=-5-4 2+ C.5x-2x=4-5 3.教材P99练习T1变式判断下面的移项是否正 D.5x+2x=-5-4 确，如果不正确，应当怎样改正？ 通能力%>2%2922 (1)从7+x=13得到x=13+7. (2)从5x=4x十8得到5x-4x=8. 6.已知代数式2x一6与3十4x的值互为相反数， (3)从3x-2=x十1得到3x十x=2+1. 那么x的值等于() (4)从8x=7x一2得到8x一7x=2. 1 A.2 C.-2 0.2 7.小芳在解一元一次方程●x一3=2x+9时，一 不小心将墨水滴在作业本上了，x前面的系数 看不清了，查看答案是x=一2，请帮小芳算一 知识京2移项、合并同类项解一元一次方程 算，●是() 4.运算能力》解下列方程： A.1 B.3 C.4 D.-4 (1)-5x+5=-6x; 8.当x= 时，-2x+6与3x一1的值 相等. 9已知2a与子a+6“是同类现，则 (2)43 3—1x=x3; m+n- 10.运算能力》已知关于x的方程2a-3x=12, 在解这个方程时，粗心的小伟误将一3x看成 了十3x,从而解得x=3,请你帮他求出正确 的解. (3)3x-20=-4x十1； 一七年级·上册·数学1 64 第3课时 去括号解一元一次方程（答案P14) 通基础> (4)2(x-1)+4(2x-3)=6-2(x+1). >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点去括号解一元一次方程 1.对于方程2(2x一1)一(x一3)=1，去括号正确 的是() 易错国去括号时，因“漏乘”“未变号”而致错 A.4x-1-x-3=1B.4x-1-x+3=1 7.解方程2一3(2一3x)=2,去括号正确的 C.4x-2-x-3=1D.4x-2-x+3=1 是() 2.方程2(x-1)=3(x-2)的解是() A.2-6-9x=2 B.2-6-3x=2 A.x=-8 B.x=8 C.2-6+9x=2 D.2-6+3x=2 C.x=-4 D.x=4 通能力》>2999999999999 3,解方程4(x-1)-x=2(+号)步骤如下： 8.如果2(x+3)的值与3(1一x)的值互为相反 ①去括号，得4x-4-x=2x十1.②移项，得 数，那么x的值为() 4x+x-2x=4+1.③合并同类项，得3x=5. A.-8 B.5 C.-9 D.9 ④两边都除以3，得x= 开始出现错误的一 5 9.若代数式a一2与1一2a的差是0，则a的值 是() 步是() A.1 B.0 C.3 D.2 A.① B.② C.③ D.④ 10.若关于x的方程m+2-3x=4x一2(2m一 4.解一元一次方程2(x一2)一3(4x一1)=9时， 11)的解是x=0,则m的值为() 去括号，得 求得方程的解 是 A.5 B.4 C. D.-4 5.当x= 时，代数式2(x一3)与1一3x 11.当x= 时，代数式3x一5比1一2x 的值相等。 的值大4. 6.运算能力》解下列方程： 12.设P=2y-2,Q=2y十3，且3P-Q=1,求y (1)2(x-1)-3=x; 的值. (2)-2(x-1)=1-3x; (3)4(x+16)=-2(x+1); 13.解下列方程： (1)3[4(x-1)+8]-7=-x; 65 优计学案·课时通 (2)3(y-7)-5(4-y)=15; 16.规定一种新运算：a☒b=a2-2b,若2⑧[1☒ (一x)门]=6，求x的值. (3)4x+3(2x-3)=12-(x-4); 17.阅读理解》阅读下面的材料，并解答后面的 (46(3-x+2x=1-(3x-1: 问题. 材料：试探讨方程ax=b的解的情况： b 当a≠0时，方程有唯一解x=a; 当a=b=0时，方程有无数解； 14.已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解，求 当a=0,b≠0时，方程无解. 关于x的方程m(x一3)-2=m(2x-5) 问题：已知关于x的方程a(2x一1)=3x-一2， 的解 请你讨论它的解的情况. 通素养》 18.阅读理解》定义：关于x的方程ax一b=0与 方程bx一a=0(a,b均为不等于0的常数)互 为“反对方程”.例如：方程2x一3=0与方程 15.推理能力》某同学解关于y的一元一次方程 3x一2=0互为“反对方程”. 3(y十a)=2y+4,在去括号时，将a漏乘了 (1)【定义理解】若方程4x一1=0与方程x 3,得到方程的解是y=3.请你求出a的值及 m=0互为“反对方程”，则m= 方程的正确的解. (2)【知识应用】若关于x的方程4x十2m+ 1=0与方程5.x一(3n一2)=0互为“反对方 程”，求m,n的值. (3)【拓展提高】若关于x的方程3x十2b一 1=0与其“反对方程”的解都是整数，直接写 出常数b的值. 一七年级·上册·数学1 66 第4课时 去分母解一元一次方程（答案P15) 通基础 7.解方程： ◆>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 2x+1_5x-1=-1. 知识点去分母解一元一次方程 3 6 1,解方程牛-。3-5，去分母正确的 3 6 是() A.x+3-x+1=15-x B.2x+6-x+3=15-3x 8运氧能力代数式2)与代数式3-2x的和 C.x+6-x-1=15-x 为4，求x的值. D.2x+6+x-3=15-3x 2.推理能力》将方程2江。1_十1=1去分母得 3 2 到2(2x-1)-3x+1=6,错在() A.分母的最小公倍数找错 B.去分母时漏乘项 C.去分母时分子部分没有加括号 易错互去分母时，因“漏乘”“漏括号”而致错 D.去分母时各项所乘的数不同 9.(2024·六安期未)把方程，1=1-十3去 3 6 3.方程2x1x十2-0的解是( ) 分母，得() 3 4 A.2(x-1)=1-(x+3) A.x=-2 B.x=2 B.2(x-1)=6+(x+3) C.x=-1 1 5 D.x= 5 C.2(x-1)=6-x+3 4方程号12-2去分母，得 D.2(x-1)=6-(x+3) 4 通能力》29>>2%%>2>>>9>% 5.如图所示的框图表示了琳琳同学解方程2.1+ 3 10.把方程之二1 的分母中的小数化为整 1=3“的流程，你认为琳琳同学在解这个方 0.3=x- 数，得() 程的过程中从第 步开始出现问题，正 A.10x-10 3 3x2 x一B.I 2 确完成这一步的依据是 21第步 22x-)+6=33x+1)第二步 c写=10z-an10g1=-号 3 第四步4+9x=3-24+6第三步 x-2+6=9x+3+ 第五步7 11.若方程2x十1=3与方程2-0.2=0同解， +13x=7 213 3 时，式了。-1与式了2的值 则a的值是() 6.当x= A.7 B.5 相等 C.3 D.以上都不对 67 优计学案·课时通 12.运算能力》解下列方程： 15.推理能力》小明在解方程2.1-x十a-1 3 2 w站22 去分母时，方程右边的一1没有乘6，因而求得 的方程的解为x=2,求a的值，并正确地解 方程. (2010.2_+1=3. 0.02 0.5 通素第》 13.当m为何值时，代数式2m 5m+2的值比代 16.探究拓展定义：如果两个一元一次方程的解 3 之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方 数式的值大5 程”.例如：2x=2的解为x=1,x+1=1的解 为x=0,所以这两个方程互为“阳光方程”. (1)若关于x的一元一次方程x+2m=0与 3x一2=一x是“阳光方程”，则m= (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”， 且这两个“阳光方程”的解的差为5.若其中一 个方程的解为x=k,求k的值. 14.运算能力》解下列方程： (3)①已知关于x的一元一次方程2023+ ℃ 2x-8--号-10: a=2023x的解是x=2024,请写出解是y= 2023的关于y的一次方程：2023 2023( )=一a(只需要补充含有y的代 数式)； eB[B经---=1 ②若关于红的一元一次方程0”-1 1 0和2025-5=2x十a互为“阳光方程”，则 关于y的-元-次方程202-9-Q=2y 2025的解为 一七年级·上册·数学1 68