第5章3一元一次方程的应用-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

3一元一次方程的应用 第1课时几何图形问题（答案P22) A.x+(x+5)=40 B.x十(x-5)=40 C.x+(x+5)=80 D.x+(x-5)=80 知识点1利用等积列一元一次方程解决实际 5.几何直观》如图所示，将一个长方形剪去一个 问题 宽为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽 1.学科融合如图所示，根据图中给出的信息， 为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与 可列正确的方程是( 剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面 我喝不到大量筒 你飞到装有相同水量 积是( 中的水！ 的小量简旁就可以喝 到水了！ 剪去的 增加的 A.xX(受)x=xX()X(x+5) A.6 B.8 C.10 D.12 B.π×82x=π×62×(x+5) 6.用两根长度均为24cm的铁丝分别围成一个 长和宽之此为2：1的长方形和一个正方形， C.xX(g)x=xX(8)×(x-5) 则长方形和正方形的面积分别是 D.πX82x=πX62×5 和 2.把一个半径为3cm的铁球熔化后，能铸 7.教材P147例1变式》(2024·西安一模)如图所 造 个半径为1cm的小铁球.（球的体 示，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个 积为r小 宽为4cm的长条，如果两次剪下的长条面积 3.一块长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方 正好相等，求原正方形的面积. 体橡皮泥，用它来捏一个底面半径为 4 cm 1.5cm的圆柱，捏成的圆柱的高是多少？（精 确到0.1cm,元取3.14) 知识点2利用等长列一元一次方程解决实际 通能力》>9992 问题 8.一个长方形的周长是26cm,若这个长方形的 4.一个长方形的周长为80cm,已知这个长方形 长减少1cm,宽增加2cm,就可以成为一个正 的长比宽多5cm,求它的长和宽.设这个长方 方形，则此正方形的边长是() 形的宽为xcm,则所列方程正确的是( A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 99 优计学案·课时通 9.如图所示，两根铁棒直立于桶底水 12.几何直观》如图所示，有甲、乙两个圆柱体容 平的木桶中，在桶中加入水后，一根 器，甲容器里盛满了水，乙容器里没有水，现 露出水面的长度是它自身长度的 将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器 3,另一根露曲水面的长度是它自 的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒 人水后乙容器的水深；如果水会溢出，请你说 身长度的5.两根铁棒的长度之和为55cm,此 明理由.（图中数据的单位：cm) 10 时水桶中水的深度为 10.(2023·自贡期末)在长为4，宽为x(2<x< 20 4)的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以 长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操 作)；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以 宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式， 如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， 则x的值为 11.用一个底面半径为4cm、高为12cm的小圆 柱体玻璃杯，向一个底面半径为10cm的大 圆柱体玻璃杯中倒水，倒了满满10小杯水 通素第》999999 后，大玻璃杯的液面距杯口还有1cm,大玻璃 13.推理能力婷婷家打算靠墙修建一个长方形 杯的高度是多少？ 养鸡场（靠墙一边为长方形的长），该墙长 14米，其他三边用竹篱笆围成.现有长35米 的竹篱笆，婷婷的爸爸打算让养鸡场的长比 宽多5米，妈妈却打算让养鸡场的长比宽多 2米，你认为谁的设计更符合实际？按这种设 计养鸡场的面积是多少？ 一七年级·上册·数学，BS 100 第2课时 古代数学问题（答案P23) 通基础 4.(2024·襄阳老河口一模)我国明代珠算家程 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算 知识点古代数学问题 题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三 1.数学文化唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民 人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其 间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记 意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分 载了一个“李白沾酒”的故事，诗云：今携一壶 完.如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一 酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮斗九.相 个，试问大和尚有 人，小和尚有 逢三处店，饮尽壶中酒.试问能算士，如何知原 人 有.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条 5.数学文化我国明代数学家程大位的数学名 约定：遇见一个朋友，先到酒店里将壶里的酒 著《算法统宗》中有一道以绳测井的题，其原文 增加一倍，再喝掉其中的19升酒.按照这样的 是：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若 约定，在第3个店里遇到朋友后，李白正好喝 将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？” 光了壶中的酒.设壶中原有x升酒，则可列出 用绳子测井深，把绳三折来量，井外余绳四尺， 方程为() 把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则 A.2x-19=0 该问题的井深是 尺 B.2(2x-19)-19=0 6.(2024·西安碑林区三模)我国古代名著《增删 C.2(2x+19)-19=0 算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知 D.2[2(2x-19)-19]-19=0 人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐 2.(2024·黔东南州模拟)《孙子算经》中有道“共 足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴 车”问题，其大致意思是：今有若干人乘车，每 地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多 4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人 14竿；每人8竿，恰好用完.”请用列方程的方 共乘一车，最终剩余8人无车可乘，问有多少 法求出这个问题中的牧童人数， 人，多少辆车？如果设有x辆车，那么可列方 程为() A.4(x-1)=2x+8 B.4(x+1)=2x+8 C.4(x+1)=2x-8 D.4(x-1)=2(x+1)+8 3.(2023·唐山迁安期中)古代有这样一个寓言 故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数 的货物，每袋货物都是一样重的.骡子说：“你 再给我两袋，我还可以多驮一些.”驴说：“那可 不行，你现在所负担的就是我的两倍；你再给 我两袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原 来所驮货物有( A.4袋 B.5袋 C.6袋 D.7袋 101 优计学案·课时通 通能力》沙>% 通素养 7.数学文化》古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分 11.推理能力我国明代数学著作《算法统宗》中 醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通 有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来 饮了一斗九，三十三客醉醺醺.欲问高明能算 到店中，一房七客多七客，一房九客空一房.” 士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，则醨酒 诗的后两句的意思是：如果每一间客房住 有() 7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房 A.11升B.8升 C.9升 D.10升 住9人，那么就空出一间房 8.教材P150随堂练习变式》古代中国的数学专著 (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少 《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干 间？到了多少房客？ 之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝 (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大 几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3 大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住 斤12两（古代中国1斤等于16两）.今有干丝 4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低 12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 于10间但低于20间，给予九折优惠；等于 斤 20间或是超过20间的，给予七折优惠.若诗 9.应用意识》《九章算术》中记载了这样一个数 中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更 学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七 合算？ 日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安.译 文：甲从长安出发，5日到齐国.乙从齐国出发， 7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出 发.请问甲出发多少日与乙相逢？ 一七年级·上册·数学，BS 102 第3课时 行程问题（答案P23) 通基仙 5.登山运动是最简单易行的健身运动.在秀美的 >>32>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 景色中进行有氧运动，特别是在森林覆盖率高 知识点1相遇问题 的山脉中，负氧离子多，能够真正达到理想的 1.小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而 体育锻炼效果.张老师和李老师登一座山，张 行，3小时后两人相遇，小明的速度是 老师每分钟登高10米，并且先出发30分钟， 4千米/时.设小刚的速度为x千米/时，列方 李老师每分钟登高15米，两人同时登上山顶， 程得() 求这座山的高度. A.4+3x=25 B.12+x=25 C.3(4+x)=25 D.3(4-x)=25 2.甲、乙两站相距300千米，一辆慢车从甲站开 往乙站，每小时行驶40千米，一辆快车从乙站 开往甲站，每小时行驶80千米.已知慢车先行 驶1.5小时，快车再开出，则快车开出多少小 时后与慢车相遇？ 知识点3其他行程问题 6.一架飞机在两城市之间飞行，顺风需要3小 时，逆风需要3小时20分，已知风速是20千 米/时，则两城市的距离为( ) A.1000千米 B.1100千米 C.1200千米 D.1300千米 知识点2”追及问题 7.(2023·德州宁津期末)小明和父母“十一”黄 3.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4m,乙每秒跑 金周去森林公园玩，在溪边的甲码头租用了一 5.5m,甲先跑6m后乙再开始跑，设乙跑了 艘小艇，逆流而上，用了2.5小时；至乙码头后 x秒后追上甲，依题意可列方程为( 沿原路返回，用了2小时；已知水流的速度是 A.5.5x=4x-6 B.5.5x=4x+6 3千米/时，则小艇在静水中的平均速度为 C.5.5x-4=6x D.5.5x+4=6.x 千米/时. 4.(2023·聊城茌平区期末)某中学组织学生到 易错臣对两辆车的位置判断不准确 校外参加义务植树活动.一部分学生骑自行车8.应用意识》甲、乙两列动车从相距60千米的 先走，速度为9千米/时；40分钟后其余学生乘 两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行 汽车出发，速度为45千米/时，结果他们同时 驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则 到达目的地，则目的地距学校 千米 经过 小时后两车相距20千米 103 优计学案·课时通 通能力》沙>% 12.教材P151例3变式》已知甲、乙两车同时从A 地出发，相背而行，甲车速度为110km/h,乙 9.一列动车正在匀速行驶，它先用20秒的时间通 车速度为80km/h,0.5h以后，甲车因有重 过了一条长为160米的隧道（即从车头进人人 要物资要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地 口到车尾离开出口)，又用15秒的时间通过了 出发多长时间后，甲车追上乙车？ 一条长为80米的隧道，求这列动车的长度.设 这列动车的长度为x米，根据题意可列方程 为() A.160,+2x_80+2B.160+2-80+x 20 15 20 15 c1602z-80-2zD.160-x_80-z 20 15 20 15 10.新情境》“悟空顺风探妖踪，千里只用五分 钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致 意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 通素第》9999%999999 000里只用了5分钟；回来时逆风，5分钟只 13.应用意识》某中学学生步行到郊外旅行， 走了600里，试求风的速度是每分钟多 七(1)班的学生组成前队，步行速度为4千 少里？() 米/时，七(2)班的学生组成后队，速度为6千 A.30B.40 C.50 D.60 米/时.前队出发1小时后，后队才出发，同时 11.一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行 后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间 时需2.9h,当逆风飞行时需3.1h.已知风速 断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时. 为20km/h,求无风时飞机的航速和这两个 (1)后队追上前队需要多长时间？ 城市之间的距离. (2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程 是多少？ (3)七(1)班出发多少小时后两队相距 2千米？ 一七年级·上册·数学，BS 104 专题七列一元一次方程解应用题的技巧（答案P24) 类型1巧设未知数列一元一次方程解应用题 4.列方程解应用题：某车间有15个工人，生产水 1.甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两 桶、扁担两种商品；已知每人每天平均能生产 个粮仓存粮吨数之比是1：2，乙、丙两个粮仓 水桶80个或扁担110根，则应分配多少人生 存粮吨数之比是1：2.5，求甲、乙、丙三个粮仓 产水桶、多少人生产扁担，才能使每天生产的 分别存粮多少吨。 水桶和扁担刚好配套？（每2个水桶和1根扁 担配成一套) 2.一个两位数的个位与十位数字的和为15，如果 把十位数字与个位数字交换位置，则所得新数类型2运用列表法列一元一次方程解应用题 比原数小27，则原来的两位数是多少？ 5.在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两 队之间比赛一场)，规定胜一场记3分，平一场 记1分，负一场记0分.某队在这次循环赛中 所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分， 问：该队在这次循环赛中平局为几场？ 3.一个三位数，百位数字比十位数字大4，个位数 字比十位数字大2，这个三位数恰好是后两个 数字组成的两位数的21倍，求这个三位数 6.甲厂有91名工人，乙厂有49名工人，为了赶 制一批产品又调来100名工人.若使甲厂的人 数比乙厂人数的3倍少12名，则应往甲、乙两 厂分别调多少名工人？ 105 优计学案·课时通一 7.甲班有45人，乙班有39人.现在需要从甲、乙 (1)两车同向而行，甲车在后，求经过几小时甲 两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛.如果从 车追上乙车 乙班抽调的人数比从甲班抽调的人数多4人， (2)两车相向而行，求经过几小时两车相距 那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 50千米. 1.5倍.请问从甲、乙两班各抽调了多少人参加 歌咏比赛？ 10.一座铁路桥长1200m,现有一列动车匀速从 桥上通过，测得动车从上桥到完全通过桥共 用时50s,整列动车在桥上的时间为30s,求 动车的长度和速度， 8.一项工作，甲单独做要8天完成，乙单独做要 12天完成，丙单独做要24天完成.现甲、乙一 起做3天后，甲因事离开，由乙、丙一起做，问： 乙、丙还要一起做几天才能完成这项工作？ 11.一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2h后， 一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度 比卡车的速度快30km/h,但轿车行驶1h后 突然出现故障，修理15min后，继续追这辆卡 车，但此时的速度比原来的速度慢了}，结果 又用了2h才追上这辆卡车，求这辆卡车的 速度. 翻类型3画示意图列一元一次方程解应用题 9.已知A,B两地相距450千米，甲、乙两车分别 从A,B两地同时出发，已知甲车速度为 115千米/时，乙车速度为85千米/时. 一七年级·上册·数学，B5 106 ☆问题解决策略：直观分析（答案P24) 瞄类型1借助图表分析问题 和是多少？ 1.新情境》请根据下面李老师和张老师的对话， 判断张老师买平板电脑的预算是() 李老师：张老师，你之前提到的平板电脑买 了没？ 张老师：还没，它的售价比我的预算多 1500元呢！ 4.(2023·阜阳界首期末)为了加强公民的节水 李老师：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手 张老师：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少 段达到节水的目的，如表是调控后的价目表 750元！ 每月用水量 单价 A.5000元 B.6000元 不超过6吨的部分 2元/吨 C.7000元 D.7200元 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 2.(2024·山西模拟)根据下列对话可知n的 值为 注：水费按月结算。 今年我的年龄 (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月 是你的4倍 我今年8岁 份应交水费 元；若该户居民9月份应 n年后我的年龄 是你的3倍. 交水费26元，则该用户9月份用水量为 吨 小新 妈妈 (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该 3.应用意识在伦敦奥运会举办前夕，国家足球 用户10月份用水量， 协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖 (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨， 励方案（每人）如下表： 共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求 场次 胜一场 平一场 负一场 11月份、12月份各应交水费多少元？ 积分 3 1 0 奖金 1500 700 0 /八元/人) 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队(11名 队员)共积20分，并且没有负一场. (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每赛一场每名队员均得出场费500元， 那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的 107 优计学案·课时通 翻类型2瞄借助示意图分析问题 (2)从甲队出发开始到乙队完成徒步路程止， 5.(2023·重庆期末)一个自行车队进行训练，训 甲队出发多长时间，两队间隔的路程为2km? 练时所有队员都以40km/h的速度前进，突 然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行 进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往 回骑，直到与其他队员会合.设6号队员从离 队开始到与队员重新会合经过了xh,则x的 值为( A.1.5 B.0.75 c号 1 0.2 6.几何直观》如图所示，正方形ABCD的边长是 9.探究拓展》已知：线段AB=60cm. 2个单位长度，一只乌龟从A点出发以2个单 (1)如图①所示，点P沿线段AB自点A向点 位长度/秒的速度顺时针绕正方形运动，另有 B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA 一只兔子也从A点出发以6个单位长度/秒的 自点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒后， 速度逆时针绕正方形运动，则第2024次相遇 P,Q两点第一次相距15cm? 在() (2)如图②所示，AO=PO=10cm,∠POB= 40°，点P绕点O以10度/秒的速度顺时针旋 转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点 A运动，假如P、Q两点能相遇，求点Q运动 A.点A B.点B 的速度、 C.点C D.点D B 7.数学文化》我国元朝朱世杰所著的《算学启 ① ② 蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问 良马数日追及之”.其大意是：跑得快的马每天 走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先 走12天，快马 天可以追上慢马. 8.应用意识甲、乙两队相约沿相同的路线徒步， 徒步的路程为24km,甲队步行速度为 4km/h,乙队步行速度为6km/h,甲队出发 1h后，乙队才出发 (1)乙队需要多长时间可以追上甲队？ 一七年级·上册·数学，B5 10813.解：原方程去括号，得 15.解：(1)①去分母时，1漏乘6 1 512 (2)正确的解答过程如下： 2mx-3=2x-3 2x-1_2-=1, 移项，合并同类项，得(m-1D江=1 23 3(2x-1)-2(2-x)=6, 去分母，得(m-1)x=2. 6x-3-4+2x=6, 当m=1时，方程无解； 6x+2x=6+3+4, 当m1时，x二m 8x=13, 因为x是正整数，所以m的值为2或3. 14.解：按方程左边的1没有乘10，去分母，得2(2x一 16.解：(1)由题意，得|k|-3=0,且一3≠0，所以k= 1)+1=5(x+a). -3. 把x=4代入，得2×(2×4-1)+1=5×(4+a). (2)解方程3x=4-5z,得x=2 1 解得a=一1. 将a=一1代入原方程，得 21+1=1 原方程为：6x十2m十1=0，把x=号代人，得3十 5 2· 2m+1=0, 去分母、去括号，得4x一2+10=5x一5. 解得m=-2. 移项、合并同类项，得-x=一13. 17.解：(1)6y-2y=3y+52 解得x=13. (2)设x一1=y,则原方程可变形为关于y的方程： 因此，a的值是-1，原方程的解为x=13. 1 1 3y- 15解：0)-号 3y=2y-20y+2). 1 1 (2)因为两个一元一次方程互为“阳光方程”的一个 去括号，得3y-3y=20一2y-1. 解为x=k,以另一个解为1一k. 1 又因为这两个“阳光方程”的解的差为5， 移项，得3- 3y-2y+2y=-1. 则k-(1-k)=5或(1-k)-k=5, 合并同类项，得6y=一1. 解得k=3或=一2.故k的值为3或一2. (3)①y+1-y-1②y=-2026. 系数化为1，得)=-9。 阶段检测四（1~2) 1.B2.D3.D4.A5.A6.A7.B8.B 所以x一1=一号，解得x=子 9.01210.111.10x+1=10+x+1812.2 3一元一次方程的应用 第1课时几何图形问题 13.解：(1)去括号，得3x-1+2+3x=7. 移项、合并同类项，得6x=6. 1.A2.27 系数化为1，得x=1. 3.解：由题意，得长方体和圆柱的体积相等，设圆柱的 高为hcm,则4×2×3=π×1.52×h.解得h≈3.4. 原方程可化为0x_11一】 3 答：捏成的圆柱的高约是3.4cm. 去分母，得30x-7(17-20x)=21. 4.A5.B6.32cm36cm2 去括号，得30x-119+140x=21. 7.解：设原正方形的边长为xcm,则3x=4(x一3)，解 移项、合并同类项，得170x=140. 得x=12, 系数化为1，得2=普 故原正方形的面积为12×12=144(cm2). 答：原正方形的面积为144cm2. 14.解：把x=1代人关于x的一元一次方程ax-2b- 8.C9.20cm 1=0,得a-2b-1=0,a-2b=1, 12 所以2a-4(a-b)=2a-4a+4b=-2a+4b= 10.号或3解析：第一次操作后的两边分别为x和 5 -2(a-2b)=-2×1=-2. (4一x),第二次操作后的两边长分别为4一x和 22 [x-(4-x)],即4-x和2x-4,当2x-4>4 答，甲出发日与乙相逢。 ,即>骨时，第三次操作后一边长为4一，另一 10.解：(1)设该店有客房x间，由题意得7x+7= 条边长为2x一4一(4-x),即3x-8,所以4-x= 9(x-1),解得x=8,7×8+7=63(名). Bx-8,所以x3,当2x=4<4=,即x<8时 答：该店有客房8间，到了63名房客. 第三次操作后一边长为2x一4，另一条边长为4一 (2)若每间房最多人住4人，得63÷4=15子，则至 x-(2x-4),即8-3x,所以2x一4=8-3x,所以 少需要16间客房，由不低于10间但低于20间，给 -号，则红的位为号减3。 予九折优惠，得订16间房需要付0.9×25×16= 360(钱)，由等于20间或是超过20间的，给予七折 11.解：设大玻璃杯的高度是xcm.根据题意，得10× 优惠，得订20间房需要付0.7×25×20=350（钱）. π×42×12=π×102×(x-1),解得x=20.2. 因为350<360， 答：大玻璃杯的高度是20.2cm. 所以诗中的“众客”再次一起入住，他们选择订 12.解：甲容器的体积V甲=元×102×20= 20间房更合算. 2000π(cm3),乙容器的体积Vz=π×202×6= 第3课时行程问题 2400π(cm3).因为2000π<2400π， 1.C 所以将甲容器中的水全部倒入乙容器，乙容器的 2.解：设快车开出x小时后与慢车相遇，则此时慢车开 水不会溢出. 出(x+1.5)小时.根据题意，得80x十40(x十 设将甲容器中的水全部倒入乙容器，乙容器的水 1.5)=300,解得x=2. 面高度为hcm,则2000π=π×202×h,解得 答：快车开出2小时后与慢车相遇。 h=5. 3.B4.7.5 答：倒人水后乙容器的水深为5cm. 13.解：按爸爸的设计，设养鸡场的宽为x米，则其长为 解：设这座山商上米，根据题意，得后-荒=30，解 得x=900. (x十5)米.依题意，得2x十(x+5)=35.解得x=10. 答：这座山的高度为900米。 而10+5=15（米），15>14，不合实际 6.C7.278.2或49.B10.B 按妈妈的设计，设养鸡场的宽为y米，则其长为 11.解：设无风时飞机的航速为xkm/h, (y+2)米.依题意，得2y+(y+2)=35.解得y= 根据题意，得2.9(x十20)=3.1(x-20), 11.而11+2=13（米），13<14，所以妈妈的设计符 解得x=600. 合实际. 则3.1(x-20)=1798. 按妈妈的设计，养鸡场的面积为13×11=143（平 因此，无风时飞机的航速为600km/h,这两个城市 方米). 之间的距离为1798km. 答：妈妈的设计更符合实际，此时养鸡场的面积是 12.解：设甲车回头追乙车xh后，甲车追上乙车.甲、 143平方米. 乙同时出发0.5h后，两车相距(110+80)× 第2课时古代数学问题 0.5=95(km), 1.D2.A3.A4.25755.8 6.解：设牧童有x人， 所以(110-80)z=95,解得x=, 根据题意，得6.x十14=8x, 19 1 +0.5= 解得x=7. 6 3(h). 答：牧童有7人 答：从A地出发号h后，甲车追上乙车。 7c89 13.解：(1)设后队追上前队需要x小时. 9.解：设乙出发x日，甲、乙相逢，则甲出发(x一2)日， 根据题意，得(6一4)x=4×1, 根据题意，得号+写=1， 解得x=2. 5 答：后队追上前队需要2小时. 解得x-8所以工一8-器 25 (2)10×2=20(千米). 答：联络员走的路程是20千米. 23 (3)设七(1)班出发t小时后，两队相距2千米， 7.解：设从甲班抽调了x人参加歌咏比赛，则从乙班抽 21 当七(2)班没有出发时，t= 4=2(小时)： 调了(x+4)人. 根据题意，得 当七(2)班出发，但没有追上七（1)班时，4t= 45-x=1.5[39-(x+4)], 6(t-1)+2,解得t=2; 解得x=15.所以x+4=19. 当七(2)班追上七(1)班后，6(t-1)=4t+2,所 答：从甲班抽调了15人参加歌咏比赛，从乙班抽调 以t=4. 了19人参加歌咏比赛. 答：七(1)班出发？小时或2小时或4小时后，两队 8.解：设乙、丙还要一起做x天才能完成这项工作 相距2千米 根探题意，得3×君十己(8十：)+=1，解得 专题七列一元一次方程解应用题的技巧 x=3. 1.解：设甲粮仓存粮x吨，则乙粮仓存粮2x吨，丙粮 答：乙、丙还要一起做3天才能完成这项工作. 仓存粮5x吨.由题意，得x十2x十5x=80,9.解：(1)设经过x小时甲车追上乙车. 解得x=10. 根据题意，得115x-85x=450,解得x=15. 则2x=20,5x=50. 答：经过15小时甲车追上乙车， 答：甲、乙、丙三个粮仓分别存粮10吨、20吨、50吨. (2)设经过a小时两车相距50千米.分两种情况： 2.解：设原数个位数字为x,则十位数字为15一x.根 ①相遇前两车相距50千米，列方程为115a十85a= 据题意，得10(15-x)十x-27=10x+15-x, 450-50,解得a=2; 解得x=6. ②相遇后两车相距50千米，列方程为115a十85a 则15-x=9. 450+50,解得a=2.5. 答：原来的两位数是96. 答：经过2小时或2.5小时两车相距50千米 3.解：设这个三位数十位数字为x,则百位数字为x十10.解：设动车的长度为xm 4,个位数字为x十2. 依题意，得1200十x=1200-x 根据题意，得100(x+4)+10x+x+2=21(10x+ 50 30 x十2)， 解得x=300. 解得x=3.则x+4=7,x+2=5. 则120+x=30. 50 答：这个三位数为735， 答：动车的长度为300m,动车的速度为30m/s. 4.解：设分配x人生产水桶，则分配(15一x)人生产扁 11.解：设卡车的速度为xkm/h,则轿车修理前的速度 担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套， 由题意得80x=2×110(15-x), 为(x+30)km/h,修理后的速度为(1-号)(x十 解得x=11,则15-x=15-11=4. 30)km/h. 答：分配11人生产水桶，4人生产扁担，才能使每天 生产的水桶和扁担刚好配套. 依题意，得(2+1+品+2)x=1×(x+30)+2× 5.解：设该队负了x场，则胜(x十2)场，平局为[11一x -(x十2)]场 (x+30)(1-号)，解得x=24. 根据题意，得3(x+2)+1×[11一x一(x+ 答：这辆卡车的速度为24km/h. 2)]=19, ☆ 问题解决策略：直观分析 解得x=4.则11-x-(x十2)=1. 1.B2.4 答：该队在这次循环赛中平局为1场. 3.解：(1)设A队胜x场，因为一共打了12场，没有负 6.解：设应往甲厂调x名工人，则往乙厂调(100一x)名 一场，所以平了(12-x)场，所以3x十(12-x)= 工人 20,解得x=4,所以12一x=8,所以A队胜4场，平 依题意，得91+x=3(49+100一x)一12， 8场. 解得x=86. (2)因为每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共 所以100-x=14. 6000元.赢了4场，奖金为1500×4=6000（元），平 答：应往甲厂调86名工人，往乙厂调14名工人. 8场，奖金为700×8=5600（元），所以奖金加出场 24 费一共17600元： 移项去分母去括号移项 4.解：(1)209.5 【思想方法归纳】 (2)设该用户10月份用水量为y吨，则y>10,根据【例1】思路分析：分情况讨论：(1)a=b,a=2,(2)b=0, 题意，得6×2+(10-6)×4+8(y一10)=30，解得 |a=1,根据一元一次方程的定义求得a,b的值，然 y=10.25. 后将其代入a十b并求值；最后将a,b的值代入原方 答：该用户10月份用水量为10.25吨. 程，由一元一次方程的解法解方程 (3)设11月份用水a吨，则12月份用水(18-a)吨. 解：分情况讨论：(1)a=b,a|=2,当a=2时，b= ①当0≤a≤6时，18-a>12,由题意得2a十2×6十 2,此时a十b=4,方程的解为x=2;当a=一2时， 4×4+8[(18-a)-10]=52, b=一2，此时a十b=一4，方程的解为x=2; 解得a-2,不合题蜜合去。 (2)|a=1,b=0,解得a=士1，b=0;当a=1时， 由原方程，得x十x-2=0,解得x=1,a+b=1十 ②当6<a≤8时，18-a≥10,2X6+4(a-6)+2× 0=1;当a=-1时，由原方程，得-x十x-2=0, 6+4×4+8[(18-a)-10]=52, 不符合题意. 解得a=7,18-a=11. 【变式训练1】解：因为方程(1-m2)x2一(m+1)x十 11月份的水费：6×2+1×4=16（元）， 8=0是关于x的一元一次方程， 12月份的水费：6×2+4×4+1×8=36（元）. 所以1-m2=0,-(m十1)≠0，解得m=士1，m≠ 答：11月份交水费16元，12月份交水费36元. -1,所以m=1. 5.C6.A7.20 【例2】思路分析：本题可以采用常规解一元一次方程的 8.解：(1)设x小时后乙队可以追上甲队，根据题意，得 方法求解，如果视(3x十7)为一个整体，那么求解 6x一4x=4×1,解得x=2. 时可能会更简洁」 答：乙队需要2小时可以追上甲队 解：视(3x十7)为一个整体，移项，得3(3x+7)一 (2)设甲队出发y小时，两队间隔的路程为2km. 1 1 ①乙出发前，根据题意，得4y=2,解得y=2; 3(3.x+7)+7(3x+7)+7(3x+7)=0, 206 ②甲、乙均出发且未相遇，根据题意，得4y一6(y一 合并同类项，得21(3x+7)=0, 1)=2,解得y=2; 系数化为1，得3x十7=0，移项，得3x=-7, ③甲、乙均出发且相遇后，根据题意，得6(y一1) 、 4y=2,解得y=4. 系数化为1，得x= 3 答：甲队出发？小时或2小时或4小时，两队间隔的 【变式训练2】解：1)25 5 8 路程为2km. 9.解：(1)设x秒后，P,Q两点第一次相距15cm,根 (2)设9虹十2=y,原方程转化为-音-g-品 据题意，得2x十3x十15=60， 去分母，得3y-5y=6y-8,移项，得3y-5y- 解得x=9. 6y=-8,合并同类项，得-8y=一8，系数化为1， 答：9秒后，P,Q两点第一次相距15cm. 得y=1, (2)点P,Q只能在直线AB上相遇，点P旋转到直 所以9x十2=1，移项，得9x=1一2，合并同类项， 线AB上的时间为40÷10=4（秒）或(40+180)÷ 得9x=-1,系数化为1，得x=一 1 10=22(秒).设点Q运动的速度为ycm/s,根据题 意，得4y=60-10×2或22y=60,解得y=10或 【通模拟】 30 1.C2.B3.D y一11 4.x+2x+4x=34685 答：点Q运动的速度为10cm/s或0 5.756.406或81或16或3 1l cm/s. 7.解：(1)去括号，得5-2x+2=3,移项，得-2x=3一 本章综合提升 2一5，合并同类项，得一2x=一4，系数化成1，得 【本章知识归纳】 x=2. 未知数一 整式1相等解等式等式 (2)去分母，得2(3x-2)-6=5-4x,去括号，得 25