第3章3探索与表达规律-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

210c+101d+13=11×19c+c+11×9d+2d+ (2)当a=2,b=3时，原式=10+30-11=29. 11×1+2=11×(19c+9d+1)+(c+2d+2).因 (3)当a=4,5a+10b一11=39时，20+10b-11= 为m与13的和能被11整除，所以11×(19c+ 39,b=3, 9d+1)+(c十2d+2)能被11整除.所以c+2d十2 则第一条边长为10，第二条边长为17，第三条边长 能被11整除.由此可知，当c十2d+2=11时，①c 为12. =1,则d=4,b=6,则m=614.②c=3,则d=3, 3探索与表达规律 b=9,则m=933.当c+2d+2=22时，c=2,d= 第1课时图表的规律探究 9,b=13,不符合题意，舍去.所以“神奇数”m为 1.C2.B3.(2+2m)4.1695.B 614或933. 6.(4n+1)7.120 阶段检测二（1~2) 第2课时数字的规律探究 1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.B8.C 1.B2.B3.C 9.(3y+12)10.311.212.6a13.-23 14.11解析：因为|2a+1|+(b-1)2=0,所以2a+ 4.-89-102-日 1=06-1=0,所以a=号b=1,所以2A-B= 5.n2-n=n(n-1) 6.D7.C8.155 2(b2-5ab)-(2ab-3b2)-2b2-10ab-2ab+ 9.(n2+n+1,n2+2n+2) 36=56-12a6=5×1-12×(-}×1=5+ 专题四 整式的应用 6=11. 1.解：原式=-2a6+2ab2-a3+2a6-3ab2= 15,解：因为多项式号x+y+xy-4z十1是六次多 2ab3-a3. 项式，单项式xmy5-m与该多项式的次数相同，所 以m十1+2=6,2n+5-m=6,解得m=3,n=2, 2.解：(1)A+2B=x2-2x+1+4x2-12x+6= 则(-m)3+2n=-27+4=-23. 5x2-14x+7. 16.解：(1)原式=7m2n-5mn-4mn2+5mn+5m2n (2)2A-B=2x2-4x+2-2x2+6x-3=2x-1. =12m2n-4mn2. 3.解：原式=-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3+ (2)原式=b+3a+6-10a-6+2b=3b-7a. 2x3-3x2y一2xy2=一2y3,原式化简后，不包含有 17.解：由数轴可知：b<0<a,lb>|a|,所以a+b< 未知数x的项， 0,a-b>0,b-a<0, 所以所得的结果与x的取值没有关系，故甲同学将 所以原式=-2(a+b)-3(a-b)+2(b-a)= x的值抄错，代入计算后，所得的结果也正确。 -2a-2b-3a+3b+2b-2a=-7a+3b. 当y=一3时，原式=一2×（一3）3=一2X 18.解：(1)方式一：x元； (-27)=54. 方式二：(12+0.4x)元. (2)方式一：24×1=24（元）； 4.解：由题意知 -2x 方式二：12+0.4×24=21.6（元）. 因为21.6<24， (xy2+2xy)×(-3+）=3xy2×(-2) 所以选择方式二租书合算， (3)如果两种租书方式收费一样多，那么 3×(-1)×2×(-2)=-12×(-)=1. x=12+0.4.x, 5.解：(1)Q=48-6t. 解得x=20. 所以，当小彬每月租书少于20本时，选择方式一租 (2)当1=22时， 书合算；当小彬每月租书等于20本时，两种租书方 式收费一样多；当小彬每月租书多于20本时，选择 Q=48-6×(22）=3(升). 方式二租书合算. (3)当t=0时，Q=48(升). 19.解：(1)三角形的周长-(a+2b)+[2(a+2b)-3] (4)当Q=0时，48-6t=0, +[2(a+2b)-3-5]=a+2b+2a+4b-3+2a+ 解得t=8. 4b-8=5a+10b-11. 答：油箱中原有汽油可供汽车行驶8小时. 12 6.解：(1)“囧”字图案中阴影部分的面积为20×20 5 1 2024×2025 2xy X2-xy=400-2xy. -5-+8+- 5 5 (2)把x=8,y=4代入400-2xy,得 +…+20242025 原式=400-2×8×4=336. 5 故此时“囧”字图案中阴影部分的面积是336. =5一2025 7.解：(1)(4xy+14y) 404 (2)客厅和卧室的面积和为x·4y+4·2y= 二4405 4.解：(1)142n+4 (4xy+8y)m2, 花费(4×4×3+8×3)×200=14400（元）. (2)由(1)知，令2n+4=108, 厨房和卫生间的面积和为2y+4y=6y(m), 解得n=52, 花费6×3×100=1800（元）. 故所摆的是第52个图形 所以一共花费14400+1800=16200（元）， 5.解：(1)因为n=1时，正方形有8个，即8=5× 答：铺设地板一共需材料费16200元. 1+3, 8.解：(1)401(2)(4n+1) 周长是18，即18=10×1+8， (3)不能.理由：由4n+1=2022,解得n=505.25. 当n=2时，正方形有13个，即13=5×2+3， 因为n不是整数，所以不能将正方形ABCD划分成 周长是28，即28=10×2+8， 有2022个正方形的图形. 当n=3时，正方形有18个，即18=5×3+3， 3/ (4)由题意，得(1+ ++…+》 + .1 周长是38，即38=10×3+8， 4 当n=4时，正方形有23个，即23=5×4十3， +1 =S正方形ABCD ·S正方形ABCD 周长是48，即48=10×4+8. 1 (2)由(1)可知，第n个图形中正方形有(5n+3)个， =1- 40+1: 周长是10n+8. ☆问题解决策略：归纳 6.解：(1)1946(2)(3n+1)(7n+4) 1.解：四个数字7,9,3,1循环 (3)不能.理由： 因为10÷4=2…2，所以710的个位数字是9； 7n+4-(3n+1)=2024, 因为2024÷4=506，所以7224的个位数字是1. 2w号 解得n=2021 4 n不是整数，所以不能. 9 本章综合提升 2(-3)(日) (-2)8 【本章知识归纳】 数字母字母乘积数字母数字和单项 式单项式最高字母指数一项系数不变 4027÷(←)°+20+(-8y-（-3 不改变要改变括号同类项 【思想方法归纳】 =27÷(-3)+(2广'+(-8)+27 【例1】思路分析：先根据a+1=b2,求出b2一a=1,然 后利用去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后 1_1+27 =27÷(-27)+2-8 把化简后的式子变成含有b2一a的形式，最后整体 3 代入求值即可. =-1+8+27 解：因为a+1=b2,所以b2-a=1. =268 3 原式=7ab-5a-3ab+3b2+2b2-4ab=3b2+ 2b2+7ab-3ab-4ab-5a=5b2-5a=5(b2- 3解：【璞空16=1-号 a)=5×1=5. 6 【变式训练1】解：原式=3a2-7a-2a2+6a-4=a2- 5 55 【猜想】nX(n+1nn+T a-4,因为a2-a-5=0,所以a2-a=5, 5 5 5 所以原式=5-4=1. 【应用】根据题意，得1X2十2义十3X4十…十【例2】思路分析：由图形可得，因为第①个图案中共有 133探索与表达规律 第1课时 图表的规律探究（答案P12) 通基922>92>2>>2>2% 通能力》2>99229>28 知识点探索图形规律 5.新情境有机化学中“烷烃”的分子式如CH4、 1.木材加工厂堆放木料的方式如图所示，以此规 C2H。、C3Hg…可分别按如图所示对应展开，则 律可得出第六堆木料的根数是() C1ooHm中m的值是( ) H HH H-C-H H-C-C-H H HH 第一堆 第二堆 第三堆 A.56根 B.30根 C.28根 D.15根 HHH 2.(2023·重庆中考)用长度相同的木棍按如图 HC-C-C-H… 所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根 HHH 木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案 A.200 B.202 用了19根木棍，第④个图案用了24根木 C.302 D.300 棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的 6.推理能力》如图所示是由大小相同的正方形 木棍根数是() 组成，第①个图形中有5个涂有阴影的正方 o… 形，第②个图形中有9个涂有阴影的正方形， ① ② ③ ④ 第③个图形中有13个涂有阴影的正方形… A.39 B.44 C.49 D.54 按此规律摆下去，第n个图形中共有 3.(2023·山西中考)如图所示，是一组有规律的 个涂有阴影的正方形， 图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第 1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有 6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片， ② ③ 第4个图案中有10个白色圆片…依此规 通素养》沙 律，第n个图案中有 个白色圆片.（用 7.(2024·渭南临渭区期末)如图所示，图①是由 含n的代数式表示) 6块完全相同的三角形地砖铺成，图②是由10 88888888888888… 第1个第2个 第3个 第4个 块完全相同的三角形地砖铺成，图③是由14 4.(2024·哈尔滨阿城区一模)如图所示，每一幅 块完全相同的三角形地砖铺成…按图中所 图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有 示规律，图n所需三角形地砖数量为482块， 1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中 则n的值为 有5个菱形，继续排列下去，若第n幅图中有 X… 337个菱形，则n ② ◇◇ < ◇父◇…◇… 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 -七年级·上册·数学，BS 62 第2课时 数字的规律探究（答案P12) 通基础 >>>>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 通能力 >>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>> 知识点，探索数字规律 6.如图所示，下列各图形中的三个数之间均具有 1.观察如图①、图②、图③所示的运算过程并找 相同的规律.根据此规律，图形中M与m,n的 关系是( ) 出规律：则 的值为( ① ⑤ @-③ 4)-⑤ (nM A.M=mn B.M=n(m+1) ② C.M=mn+1 D.M=mn+m A.8 B.-8 C.-22 D.26 7.(2023·牡丹江中考)观察下面两行数： 2.观察下表中提供的四个数的变化规律，x的值 1,5,11,19,29,… 为( ) 1,3,6,10,15,… 0 取每行数的第7个数，计算这两个数的和 9 20 35 54 m 是() 第1个第2个 第3个第4个 第n个 A.92 B.87 C.83 D.78 A.252 B.209 8.(2024·咸宁咸安区模拟)将从1开始的连续 C.170 D.135 自然数按如图所示的规律排列，则第12行的 3.(2024·昆明官渡区模拟)按一定规律排列的 前两个数的和是 式子：a,2a3,4a5,8a7,16a°，…，则第2024个 以 式子为( 21201918 17 36 A.22023a2025 B.(22024-1)a4047 22 17651 16 35 23 8114 2 5 C.22023a4047 D.22024a4049 456 24 923 33 1098 7 25 101112 13 1 4.分别观察下面各列数的排列规律，请接着写出 26 27 … 282930 后面的3个数， 第8题图 第9题图 (1)1,-2,3,-4,5,-6,7, 通素养 >>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>>>>>>2>> ’… 9.(2023·聊城中考)如图所示，图中数字是从1 开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始， 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出 5.(2023·岳阳中考)观察下列式子： 来组成有序数对：（3,5)；(7,10)；(13,17)； 12-1=1×0;22-2=2×1;32-3=3×2;42 (21,26);(31,37)…如果单独把每个数对中的 4=4×3;52-5=5×4;… 第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就 依此规律，则第n(n为正整数)个等 会发现其中的规律.请写出第n个数对： 式是 63 优计学案·课时通 专题四 整式的应用（答案P12) 类型1解决化简或求值问题 甜类型3解决定义型问题 1.化简：-2(e6-名a6+2c2）-(-2a0+ 4.阅读材料：若 表示运算a一b十c, 3ab2). /b a 表示运算ad-bc.求：当x=一1，y=2 xy 时 的值. -2x y 6 2.已知A=x2-2x+1,B=2x2-6x+3.求： (1)A+2B. 类型4强解决生活实际问题 (2)2A-B. 5.某汽车行驶时油箱中余油量Q(升)与行驶时间 t(小时)的关系如下表： 行驶时间t/小时 余油量Q/升 1 48-6 2 48-12 3 48-18 甜类型2强解决说理问题 4 48-24 3.有这样一道题：“计算一(x3一2xy2十y3)十 5 48-30 （-x3+3x2y-y3)+(2x3-3x2y-2xy2)的 (1)写出用时间t表示余油量Q的代数式. 值，其中x=y=-3.甲同学把x-”瑞 2 (2②)当1=2号时，求余油量Q的值。 抄成“x=一 )”,但他计算的结果也是正确的。 2 (3)根据所列代数式回答，汽车行驶之前油箱 你能说明这是怎么回事吗？并求出正确的 中有多少升汽油？ 结果 (4)油箱中原有汽油可供汽车行驶多少小时？ 一七年级·上册·数学，BS 64 翻类型5解决几何图形问题 类型6解决规律问题 6.如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪 8.探究拓展》将正方形ABCD(如图①所示)作 去两个一样的小直角三角形和一个长方形后 如下划分，第1次划分：分别连接正方形 得到的一个“囧”字图案（阴影部分）.设剪去的 ABCD对边的中点（如图②所示），得线段HF 小长方形的长和宽分别为x,y;剪去的两个小 和EG,它们交于点M,此时图②中共有5个正 直角三角形的两直角边长也分别为x,y. 方形；第2次划分：将图②左上角正方形AE (1)用含有x,y的代数式表示“囧”字图案中阴 MH再划分，得图③，则图③中共有9个正 影部分的面积. 方形 (2)若x=8,y=4,求此时“囧”字图案中阴影 (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第 部分的面积. 100次划分后，图中共有 个正方形 (2)继续划分下去，第n次划分后图中共有 个正方形 (3)能否将正方形ABCD划分成有2022个正 20 方形的图形？如果能，请算出是第几次划分； 如果不能，请说明理由 (4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分 割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何 图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计 算结果，试着探究求出下面代数式的结果.计 7.大明刚买了一套房子，房子的尺寸如图所示 (单位：m). .(直接写出答 (1)用含有x,y的式子表示这套房子的总面积 案即可) 是 m2. (2)经测量x=4m,y=3m,装修时，客厅和卧 室铺设木地板，每平方米材料费为200元，厨 房和卫生间铺设瓷砖地板，每平方米材料费为 100元，那么铺设地板一共需材料费多少元？ 2y 卫生 卧室 间 厨房 客厅 4y 65 优计学案·课时通 ☆问题解决策略：归纳（答案P13) (-3)0= ;50= 1.探究拓展》阅读理解：我们知道7224是一个很 2 大的数，怎样求出它的个位数字呢？ 我们依次算一下7,7,73,74，…，观察其个位 (3)由(2)中的算式归纳：有理数a(a≠0)的圈 数字的变化，寻找其中的规律，经过归纳，得出 n(n≥3)次方写成乘方的形式等于 结论 ④算27÷(-}+20-(-81-(-3 71=7 72=49 73=343 74=2401 75=1680776=117649 7=82354378=5764801 观察上述各式，可以得出个位数字的变化规律 是 所以，你能猜到7o 的个位数字是多少吗？那么，7224的个位数字 又是多少呢？ 3.(2024·安徽一模)观察下列等式： 第1个等式：12=5-号第2个等式2及3 5 日名第3个等式及-}-第4个等 55 55 2.求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫 式4X54-1… 作除方，如2÷2÷2，（一3）÷（一3）÷（一3)÷ 根据发现的规律，解答下列各题， (一3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2 【填空】直接写出第5个等式： 记作2③，读作“2的圈3次方”，（一3)÷ 【猜想】请写出第n个等式.（用含n的式子 (-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)①，读作“-3 表示) 的圈4次方”.一般地，把a÷a÷a÷…÷a(a 【应用】计算： n个a ≠0)记作aD,读作“a的圈n次方”. 5 5 .5 1X2十2X3+3X4+…+2024X2025 (1)直接写出计算结果：2⑧= (-3)④= (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为 加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 11..1 除方→29=2÷2÷2÷2=2×2×2×2 (分)》°一乘方的形式 仿照前面的算式，将下列运算结果直接写成乘 方的形式 一七年级·上册·数学，BS 66 4.(2024·吉安遂川期末)用围棋棋子摆出下列6.(2024·合肥庐阳区一模)用同样规格的黑白 一组图形，按照这种规律摆下去 两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成 (1)第5个图形用的棋子的个数为 图案， 第n个图形用的棋子的个数为 (1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方 (2)若用108个围棋棋子按此规律摆放，求所 形 个，白色正方形 个 摆的是第几个图形. (2)第n个图案中有黑色正方形 个， 白色正方形 个.（用含n的代数式 ●。。●。●●●。。。。。。●●●。 ①②③ (④ 表示) (3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好 比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出 是第几个图案；若不能，请说明理由 ① ② ③ 5.(2024·宣城一模)如图所示的图形是由边长 为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如 图①所示，正方形的个数为8，周长为18， (1)推测第4个图形中，正方形的个数和周长 分别是多少？ (2)推测第n个图形中，正方形的个数和周长 分别是多少？（都用含n的代数式表示） O 67 优计学案·课时通一