第4章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

本章综合提升（答案P17) 本章知识归纳 单项式：数或字母的① 叫作单项式，单独 的一个数或字母也是单项式其中的数字因数叫作 单项式的② 所有字母的指数的和叫作单 项式的③ 单项式与多项式统称 整式的 为⑦ 整式 概念 多项式：几个单项式的④ 叫作多项式，其 属于代数式 中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫 作⑤ 次数⑥ 的项的次数叫作 多项式的次数 同类项：所含字母⑧ 并且相同字母的指数也 的项叫作同类项 合并同类项 合并同类项：把多项式中的同类项合并为① 叫作合并同类项 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并 整 前各同类项的系数的① 字母连同它的指数 整式的 2 加 加减 去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要 减 去括号 去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的3 再把所得的积④ 合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，利 整式的加减 用它们就可以进行整式的⑤ 整式的化简与求值 整式的加 减的应用 利用整式的加减解决实际问题 思想方法纳 1 >>>>>>>>>>》>>>>>>>> 【例1】下列代数式：① 2xy,②x-2xy+1, 1.建模思想 ③8p,④4 ,⑤100，⑥3，⑦-a62+5ab2-a, 7 台管链接章… 本章在识别单项式、多项式、整式等概 ⑧4xz+2xy 念时，常运用建立数学模型的思想，即利用 (1)将上面的代数式分别填入所属的圈中 单项式、多项式、整式的定义进行识别或 判定 单项式 多项式 整式 79 优学案·课时通 (2)2的系数是 【变式训练2】(2024·邯郸馆陶期中)已知 ,次数是 A=3x2-x+2y-4xy,B=2x2-3x-y+xy. x一2x3y+1的次数是 (1)化简2A-3B. 【变式训练1】已知多项式2x3y一4y3+ 5x2一1，按要求解答下列问题： (2)当x+y=7,xy==1时，求2A-3B (1)指出该多项式的项： 的值 (2)该多项式的次数是 ,三次项的系数 是，常数项是 (3)按x的降幂排列为： (4)若x+1|+1y一2|=0，求该多项式 的值. 3.方程思想 2.整体思想 根据题目中表示或蕴含的数量关系，列出方 百受链接本章 程或方程组，从而把一个问题通过方程解决的思 本章在解决整式的化简与求值的问题 想叫作方程思想.在某些问题中，利用方程的思 中，常运用整体思想，如有关字母的值以整 想可使解题过程变得简捷、流畅. 式的形式出现时，可把这个整式看作一个整 …链接本章… 体，然后利用整体代入的方法求得答案 本章在利用“无关”信息求字母参数的 、.- 值时，常运用方程思想，即根据某个整式的 【例2】(2024·保定阜平期末)先化简，再 值与某个字母的值无关，列出关于所求字母 求值. 参数的方程，解方程即可求得这个参数 (1)4(3m2n-mm2)-2(-mn2+3m2n),其 的值 中m是一1的相反数，n是2的倒数. (2)3(x-2y)+5(x+2y-1)-2,其中 【例3】(2024·邯郸永年区期末)已知代数式 2x+y=3. A=6x2+3xy+2y,B=3x2-2xy+5x. (1)求A-2B. (2)当x=-y=-6时，求A-2B的值 3 (3)若A一2B的值与x的取值无关，求y 的值 一七年级·上册·数学，则河北专用 80 【变式训练3】(2024·石家庄裕华区月考)已 【变式训练4】(2024·保定雄县期中)阅读材 知A=2a+3ab-2a-日B=-a2+2b+号 a 6 料：对于任何数，我们规定符号 的意义是 (1)当a=-1,b=2时，求4A-(3A-2B) a 6 1 2 =ad-bc.例如： =1×4-2× d 3 的值. 3=一2 (2)若(1)中代数式4A一(3A-2B)的值与 5 a的取值无关，求b的值. 6V (1)按照这个规定，请你计算 的值 -2 8 (2)按照这个规定，请你计算当m+3|+ 23m+2n (n-1)2=0时， 的值 -1m2-2n 4.转化思想 台链接本章 《 本章在解决与整式有关的新定义问题 时，常运用转化思想，即根据新定义的内容， 把问题转化为我们所熟悉的整式加减运算 问题，然后按照整式的运算法则求解。 【例4】(2024·石家庄晋州期末)定义：若 a十b十ab=10,则称a,b是“最佳拍档数” 例如：由于3十了十3×？=10，因此3和子是 一组“最佳拍档数”. (1)8与 是一组“最佳拍档数” (2)有一个数与任何数都不能组成“最佳拍 档数”，这个数是 (3)若m,n是一组“最佳拍档数”，请求出 通模拟》%>>>%>%>>>>>%> 号3mn2侵+n）m-6的值 1.(邢台期末)下列说法正确的是() A.0不是单项式 B.x没有系数 C+x是多项式D,一xy是单项宝 2.(邯郸武安期末)若2amb3与一3a4b”是同类 项，则m,n的值分别为() A.2,1 B.3,4C.3,2 D.4,3 81 优计学案·课时通 3.(2023·邢台襄都区一模)墨迹覆盖了等式 (3)当a>b>c时，两种打包方式中，哪种方式 “○一(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的 节省打包带？并说明你的理由. 多项式为() A.x+2 B.-x2-1+3x C.3x-x2+1 D.3x+x2+1 4.(2024·沧州沧县月考)去括号：10m2n3 (甲) (7m2n3-3n2+5)= 5.(2023·唐山丰润区模拟节选)已知：A= (2x-3)-(3x-5). (1)化简整式A. (2)若2A+B=-x+6, ①求整式B, ②在“A☐B”的“☐”内，填入“十，一”中的一个 运算符号，使结果是不含一次项的整式，请你 写出一个符合要求的算式，并计算出结果， 通中考》29993299299>9 7.(2023·宜宾中考)下列计算正确的是() A.4a-2a=2 B.2ab+3ba =5ab C.a+a2=a3 D.5x2y-3xy2=2xy 8.(2023·德阳中考)在“点燃我的梦想，数学皆 有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强 设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个 整式m,n按规律进行如下操作： 第1次操作后得到整式中m,n,n一m; 6.(2024·石家庄藁城区期中)某电商客服在为 第2次操作后得到整式中m,n,n一m,一m; 买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、 第3次操作后… b厘米、c厘米的箱子，并发现有如图所示的 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上 甲、乙两种打包方式（打包带不计接头处的 一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小 长).回答下列问题： 强将这个活动命名为“回头差”游戏。 (1)用含a,b,c的代数式表示甲、乙两种打包 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整 方式所用的打包带的长度：甲需要 式串各项之和是() 厘米，乙需要 厘米。 A.m+n B.m C.n-m D.2n (2)当a=50厘米，b=40厘米，c=30厘米时， 9.(2023·江西中考)单项式-5ab的系数为， 直接写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的 10.(2023·自贡中考)计算：7a2-4a2= 长度：甲需要 厘米，乙需要 厘米。 一七年级·上册·数学，则河北专用 82(x十8)=9x, =3ab2-(5a2b+2ab2-1+ab2)+6a2b 所以9个数之和是方框正中的数的9倍。 =3ab2-(5a2b+3ab2-1)+6a2b 所以上述关系还成立， =3ab2-5a2b-3ab2+1+6a2b 2.解：设这个四位数为abcd,且a十b十c+d能被3 =a2b+1. 整除， 当a=-号6=号时a6+1=(-2)'×号十 abcd=1 000a+1006+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d 1g =9×(111a+11b+c)+a+b+c+d. 3.解：A-B=(3a2-7bc-6b2)-(5a2-3bc+4b2)= 因为a十b+c十d能被3整除，9×(111a+11b+c) 3a2-7bc-6b2-5a2+3bc-4b2=(3-5)a2+ 能被3整除， (-7+3)bc+(-6-4)b2=-2a2-4bc-10b2. 所以9×(111a+11b+c)+a+b+c+d也一定能 当a=2,6=-16=号时，原式=-2×2-4× 被3整除，即这个四位数能被3整除. 3.解：判断一个三位数能被7整除的方法为：把一个三 (-1D×8-10×(-1y=-8+10-10=-8. 位数的个位数字截去，再从剩下的数中，减去原来个 位数的2倍，如果差是7的倍数，那么这个数能被7 4.解：(2x2+ax-y+6)-(2bz2-3x+5y-1)= 整除. (2-2b)x2+(a+3)x-6y+7. 例如：因为19一8×2=3，所以198不是7的倍数；因 由题意，得2-2b=0,a+3=0,解得a=-3, 为13-3×2=7，所以133是7的倍数. b=1. 理由如下：设这个三位数为abc,则这个三位数可表 将a,6的位代人式子-合a一23十4b,得一 1 示为：100a+10b+c. 所以100a+10b+c=100a+10b-20c+21c= （-3)2-2X1+4×(-3)X1=-3 10(10a+b-2c)+21c. 5.C6.22 因为10a+b-2c能被7整除，21c能被7整除， 7.解：原式=4a2-5ab十b2-2a2+3ab-3b2= 所以(10a十b一2c)+21c能被7整除，即这个三位 2(a2-b2)-2ab.当a2-b2=5,ab=2时，原式= 数abc能被7整除. 10-4=6. 4.解：(1)因为147的百位数字为1，十位数字为4，个 8.解：原式=2a3-4b2-2b十a十a-2a3=-4b2+ 位数字为7，且4=号×1+7)， 2a-2b. 因为a-b=2b2, 所以147是“半和数” 所以2a-2b=2(a-b)=4b2, (2)小林的猜想正确. 所以原式=-4b2+4b2=0. 理由：设一个“半和数”的百位数字为m,个位数字为 9.解：(1)(-4)☆3=2×(-4)-3×3=-8-9= n(m,n均为整数，且m不为0)，则这个“半和数”为 -17. 100m+10×m十+n=105m+6m=3(35m+2m）. 2 (2②原式=2x(分-3)-3×(-a2+2a+1） 因为m,n均为整数， =a-6+3a2-6a-3 所以35m十2n为整数， =3a2-5a-9. 以3(35m十2n)是3的倍数， 当a=-2时， 所以任意一个“半和数”都能被3整除，故小林的猜 原式=3×(-2)2-5×(-2)-9 想正确. =12+10-9=13. 本章综合提升 数学活动 【本章知识归纳】 1.解：(1)带阴影的方框中的9个数之和为：3+4十5十 ①乘积②系数③次数④和⑤常数项⑥最高 10+11+12+17+18+19=99, ⑦整式⑧相同⑨相同⑩一项①和②不变 因为99÷11=9， ⑧每一项④相加⑤加减运算 所以方框中9个数之和为方框正中的数的9倍. 【思想方法归纳】 (2)移动位置后上述关系还成立.理由如下： 【例1】思路分析：(1)都是数字与字母的乘积的式子叫 设正中的数为x, 作单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；几个单 则方框中9个数之和为：(x一8)十(x一7)十(x一 项式的和叫作多项式.据此即可求解；(2)单项式中数 6)十(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+ 字因数叫作单项式的系数，所有字母的指数和叫作单 17 项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫作多项式可；(2)将数值代入(1)中化简结果计算即可；(3)先将 的次数.据此即可求解. (1)中化简结果变形后，然后根据题意“无关”列出关于 解：(1)单项式：①③④⑤； y的方程，解方程即可求得答案. 多项式：②⑦⑧； 解：(1)因为A=6x2+3xy+2y,B=3x2-2xy+5x, 整式：①②③④⑤⑦⑧ 所以A-2B=6.x2+3xy+2y-2(3x2-2xy+5x) 2254 =6.x2+3.xy+2y-6x2+4xy-10x =7xy+2y-10x. 【变式训练1】解：(1)多项式2x3y-4y3+5x2-1各项 依次为2x3y,-4y3,5x2,-1. (2)当x=-=一6时 (2)4-4-1 A-2B=7xy+2y-10x (3)2x3y+5x2-4y3-1或2x3y+5x2-1-4y (4)根据题意，得x十1=0，y-2=0, =7×(-)×(-6)+2×(-6)-10×(-) 解得x=-1,y=2. 把x=-1,y=2代人，得 -12+9-7 2 2x3y-4y3+5x2-1 (3)A-2B=7xy+2y-10x=(7y-10)x+2y. =2×(-1)3×2-4×23+5×(-1)2-1 因为A一2B的值与x的取值无关， =2×(-1)×2-4×8+5×1-1 所以7y-10=0,解得y=7 10 =-4-32+5-1=-32. 【例2】思路分析：(1)将原式去括号、合并同类项得到 【变式训练3】解：(1)4A-(3A-2B) 最简结果，把m与n的值代入计算即可求值；(2)将原 =4A-3A+2B 式去括号、合并同类项得到最简结果，把2x十y=3整 =A+2B. 体代入计算即可求值. 因为A=2a2+3ab-2a- 2a6+2 3,B=-a2+ 3 解：(1)4(3m2n-mn2)-2(-mn2+3m2n) =12m2n-4mn2+2mn2-6m2n 所以A+2B=2a2+3a6-2a-号+2(-a+号 =12m2n-6m2n-4mn2+2mn2 =6m2n-2mn2. )=2a3+8ah-2a-号-2a2+w+ 4 =4ab- 3 因为m是一1的相反数，n是2的倒数， 2a+1. 1 所以m=1,n=2 当a=-1,b三2时， 当m1,n三2时〉 原式=4×(-1)X2二2×(-1)+1=-2+2+1=1. 原式=61x号-2X1x() (2)因为4A-(3A-2B)=4ab-2a+1=a(4b-2)+ 1,且代数式的值与a的取值无关， -6X1x3-2X1x- 4=2 所以4b一2=0， 1 (2)3(x-2y)+5(x+2y-1)-2 解得b=2· =3x-6y+5x+10y-5-2 【例4】思路分析：(1)设另一个数为x,根据题意列出方 =8x+4y-7. 程求解即可；(2)将新定义的运算整理得出b=一1时， 当2x+y=3时， 等式不成立，即可得出结果；(3)根据题意得出m十n十 原式=4(2x十y)-7=4×3-7=12-7=5. n=10,将代数式化简，整体代入求解即可. 【变式训练2】解：(1)2A一3B =2(3x2-x+2y-4xy)-3(2x2-3x-y+xy) 解：0号 =6x2-2x十4y-8xy-6x2+9x+3y-3xy (2)-1 =7x+7y-11xy. (3)因为m,n是一组“最佳拍档数”，所以m十n十 2 (2)因为x十y=7xy=-1, mn=10. 所以mn一 [3mm+2(分+m）-m-6 1 所以2A-3B=7x+7y-11xy =7(x+y)-11xy 1 =7×号-1×(-10=2+1=18. =mn-2(3mn+n十m-6) 1 11 【例3】思路分析：(1)将A,B代入A一2B中计算即 =-2mm-2n-2m+3 18 2(mn+n+m)十3 (2)设长方形的宽为x,则长为(x十5)， 列方程为2(x十5十x)=36. 2X10+3=-2. 6.B7.D 8.解：(1)3+5x一4x2,不是等式，所以不是方程，是整 6 【变式训练4】解：(1) =5×8-(-2)×6= 式（或代数式等）. -28 (2)2x-y=1,是方程，未知数是x与y. 52. （3)=1,是方程，未知数是x. (2) 23m+2n -1m2-2n =2m2-4n+3m+2n=2m2+ (4)3x-11>0,不是等式，所以不是方程，是不等式. 3m-2n. 9.B解析：设AE为xcm,则AM为(14-3x)cm, 因为|m十3|+(n-1)2=0, 因为AN=MW,所以AN+6=x+MR,即6十 所以m=-3,n=1. 2x=x+(14-3x). 所以原式=18-9-2=7. 第2课时方程的解及一元一次方程 【通模拟】 1.A2.A 1.D2.D3.D 3.A解析：①含有两个未知数，不是一元一次方程； 4.3m2n3+3n2-5 5.解：(1)A=(2x-3)-(3x-5) ②上不是整式，不是一元一次方程：③是一元一次方 =2x-3-3x+5 程；④x的最高次数是2，不是一元一次方程；⑤方程 =-x十2. 变形后不含未知数，不是一元一次方程 (2)①因为2A+B=-x十6， 4.B5.2 所以B=-x+6-2A 6.解：(1)未知数是x,方程的左边是3，右边是2x一1， =-x+6-2(-x+2) 是一元一次方程. =一x+6+2x一4 (2)未知数是x,y,方程的左边是x十2y,右边是7. =x十2. 因为方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程。 ②因为A+B=(-x+2)+(x+2)=4,是不含一次 (3)未知数是x,方程的左边是x2十5x一1，右边是 项的整式， 5,因为未知数的次数不都是1，所以不是一元一次 A一B=(一x十2)一(x十2)=一2x,是含有一次项 方程. 的整式. 所以A和B相加时是不含一次项的整式，结果是4. (4)未知数是x,方程的左边是2x十3，右边是】，因 6.解：(1)(4a+2b+6c)(2a+4b+6c) 为方程的右边不是整式，所以不是一元一次方程. (2)460440 7.D8.B9.② (3)乙种节省.理由如下： 10.解：因为关于x的方程mx3-x"+2-2x3+1=0 (4a+2b+6c)-(2a+4b+6c)=4a+2b+6c 化简后是一元一次方程， 2a-4b-6c=2a-2b. 所以m-2=0,n+2=1, 因为a>b>c, 解得m=2,n=-1, 所以2a-2b>0, 所以3m-n2=3×2-(-1)2=5. 所以(4a+2b+6c)一(2a+4b+6c)>0, 所以乙种方式节省. 11.解：(1)根据甲班植树的棵数比乙班多20%，得甲班 【通中考】 植树的棵数为(1十20%)x棵； 7.B8.D9.-510.3a2 根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，得甲班 第五章一元一次方程 植树的棵数为2(x一10)棵. 5.1方程 (2)根据题意，得(1十20%)x=2(x一10). 5.1.1从算式到方程 (3)把x=25分别代入(2)中方程的左边和右边，得 第1课时从算式到方程 左边=右边，所以x=25是方程(1十20%)x= 1.B2.①③④⑤③④⑤ 2(x-10)的解. 3.C 所以乙班植树的棵数是25棵，甲班植树的棵数是 1 1 (1+20%)×25=30(棵)，而不是35棵. 4.3x=3y+7或3x-3y=7 5.1.2等式的性质 5.解：(1)设这个数为x, 1.D2.C3.D 1 4.(1)-2y等式的性质2，两边乘-10 列方程为2(5x-13)=1. (2)一y等式的性质2，两边除以一2 1.9