精品解析：广东省惠州中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

惠州中学2025—2026学年高一年级第一学期10月考试 数学 本试卷4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定知识进行判断即可. 【详解】全称量词命题：，，它的否定是存在量词命题：，. ∴命题：，，它的否定为：，. 故选：C. 2. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 4. 设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图研究集合之间的运算即可. 【详解】根据图中所示，阴影部分表示的是从集合中去掉， 然后与集合的公共部分，即. 故选：C. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，时，取得最小值4， 由有解，则，解得或． 故实数m的取值范围是或. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若x＞0时，，则x＜0时， D. 若在上为增函数，则在上为减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的性质逐项分析. 【详解】对于A， ，正确； 对于B，由于是在R上的奇函数，若则，由且，所以，即上最大值为1，正确； 对于C，当 时， ，正确； 对于D，根据函数图像关于原点对称，当在上是增函数，则在也是增函数，错误； 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 已知函数，则 D. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空集是任意集合的子集判断A；利用基本不等式求得最小值判断B；求得函数值判断C；利用二次不等式恒成立求得的范围判断D. 【详解】对于A：由空集是任意集合的子集可得，故A错误； 对于B：， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：二次不等式恒成立，由于是二次不等式，所以， 因此可得：，解得：，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：利用赋值的思路，令，，即可得到； B选项：令，得到，即可得到为偶函数； C选项：令，得到，再结合，，即可得到； D选项：令，取得到，令，取得到，再结合C选项的结论即可得到. 【详解】A选项：令，，则，又，则，故A正确； B选项：定义域为R，关于原点对称，令，则，即，所以为偶函数，故B正确； C选项： 令，则，即，则，又，， 所以 ，，故C错； D选项：令，取可得，，整理得， 令，取可得，，整理得，再结合C选项可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案. 【详解】解： 由分式不等式的解法得原不等式等价于， 解不等式得. 故不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 14. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论. 【详解】设，其图象为抛物线， 对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以， 因为0为其中一个解可以求得， 又，所以或， 则不等式为和， 可分别求得和， 因为位整数，所以和， 所以全部不等式的整数解的和为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1）． （2），或 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，利用交集的意义求解即可； （2）利用交并补集的意义求解即可. 【小问1详解】 ，， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求实数和的值； （2）判断函数的奇偶性，并利用定义证明； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）奇函数，证明：由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）减函数，证明：函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【小问1详解】 由的图象过点，得，又， 联立解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 18. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为，当时，解集为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解；（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解； （3）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以，即为，所以， 当时，解得，当时，解得，当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【小问2详解】 因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 【小问3详解】 当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在与上均为增函数， 若存在完美区间， 则有，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. （2），. （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. 【小问3详解】 ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2025—2026学年高一年级第一学期10月考试 数学 本试卷4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若x＞0时，，则x＜0时， D. 若在上为增函数，则在上为减函数 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 已知函数，则 D. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________. 13. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 14. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求实数和的值； （2）判断函数的奇偶性，并利用定义证明； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 18. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $