1.1 探索勾股定理 第2课时课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级 数学上册

第2课时　验证勾股定理 第一章　1　探索勾股定理 1.利用拼图的方法验证勾股定理.(重点) 2.掌握勾股定理和它的简单应用.(难点) 学习目标 勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. 几何语言： 因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以a2+b2=c2(勾股定理). 为什么叫勾股定理这个名称呢？ 课堂引入 一、勾股定理的验证 问题　请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流.在同学操作的过程中，如图， 提示　(a+b)2或ab·4+c2. (1)大正方形的面积可以怎样表示？ (2)把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来：　　　=　　　. 提示　(a+b)2=ab·4+c2. 对上式进行化简，得到 a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2. 请用不同的方法证明勾股定理. 解　方法一　将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S正方形ABCD=c2=(b-a)2+4×ab，所以c2=a2+b2. 方法二　如图(2)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. S梯形ABCD==2×ab+c2， 所以a2+b2=c2. 例1 我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 反思感悟 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就.下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是 √ 跟踪训练1 解析　A项，由题意知，大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积， 所以4×ab+a2+b2=(a+b)2，是一个恒等式， 故该选项不能得出勾股定理，符合题意； B项，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， 所以4×ab+c2=(a+b)2， 整理得a2+b2=c2， 故该选项能得出勾股定理，不符合题意； C项，由题图可得ab+ab+c2=6×ab+(b-a)2， 整理得a2+b2=c2， 故该选项能得出勾股定理，不符合题意； D项，由题图可知4×ab+(b-a)2=c2， 即c2=a2+b2， 故该选项能得出勾股定理，不符合题意. 二、勾股定理的简单应用 (课本P5例题)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？ 例2 解　根据题意，画出图形如图所示，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角，由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002， 所以BC=300 m， 蓝方汽车10 s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)， 即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s. 解题时注意数形结合的思想方法使直角三角形问题直观化，利用勾股定理解决问题. 反思感悟 (1)如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 A.45 m B.40 m C.50 m D.56 m 解析　已知东北方向和东南方向的夹角是直角， 所以∠AOB=90°， 又因为OA=32 m，OB=24 m， 所以AB2=OA2+OB2=1 600. 所以AB=40 m. 跟踪训练2 √ (2)如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B 200 m，结果他在水中实际游了250 m，则该河流的宽度为　　　m. 解析　由题意得∠ABC=90°， 由勾股定理得 AB2+BC2=AC2， 因为AC=250 m，BC=200 m， 所以AB=150 m. 150 课堂小结 1.如图是我国古代数学家赵爽为《周髀》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 A.三角形内角和定理 B.勾股定理 C.三角形全等判定 D.等腰三角形判定 √ 解析　因为“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， 所以“弦图”解决的数学问题是勾股定理. 随堂演练 2.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案： 甲：如图1，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明； 乙：如图2，两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明. 随堂演练 对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是 A.甲、乙均对 B.甲对、乙不对 C.甲不对，乙对 D.甲、乙均不对 √ 随堂演练 解析　在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设AC=b，BC=a，AB=c. 甲：证明： 由题图1可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG， 因为S正方形ABDE=c2，S△ABC=ab，正方形FCHG的边长为b-a， 所以c2=4×ab+(b-a)2 =2ab+a2-2ab+b2， 即c2=a2+b2.故甲对； 随堂演练 乙：证明：由题图2可知四边形ACBE的面积=S△ACB+S△ABE=AB·DG+AB·EG=AB·(DG+EG)=AB·DE=c2， 四边形ACBE的面积=S四边形ACFE+S△EFB=(AC+EF)·CF+BF·EF=(b+a)b+(a-b)·a=b2+ab+a2-ab=a2+b2， 所以c2=a2+b2， 即a2+b2=c2.故乙对. 随堂演练 3.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距　　km. 解析　如图， 因为∠AOB=90°，OA=4 km，OB=3 km， 所以AB===5(km). 5 随堂演练 4.如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了　　米. 9 解析　在Rt△ABC中， 因为∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， 所以AB2=BC2-AC2=172-82=152，所以AB=15米， 同理，因为CD=10米，所以AD=6米， 所以BD=AB-AD=15-6=9(米)， 即船向岸边移动了9米. 随堂演练 本课结束 $