第22章 一元二次方程 单元测试2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

华师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A.x2+1＝0 B.x2+2x+1＝0 C.x2+2x+3＝0 D.x2+2x﹣3＝0 2.下列方程：x2＝1；（x﹣2）2＝5；（x+3）2＝3；x2＝x+3；3x2﹣3＝x2+1；y2﹣2y﹣3＝0．其中，适合用开平方法解的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的二次项系数、一次项系数与常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（　　） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 4.已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0讨论如下，则下列判断正确的是（　　） A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对 C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对 5.下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.用配方法将二次三项式x2﹣8x﹣9化为a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A.（x﹣4）2﹣25 B.（x+4）2﹣25 C.（x+4）2+7 D.（x﹣4）2+7 7.已知a+b+c＝0，4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝2 B.x1＝1，x2＝﹣2 C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝﹣1，x2＝﹣2 8.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 9.定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 11.方程2x2﹣6x+3＝0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A.3 B.2 C.1 D. 12.若m是关于x的方程﹣x2﹣2ax﹣a2+4＝0的某个根，且﹣3≤m≤2，则a的取值范围是（　　） A.﹣4≤a≤1 B.0≤a≤5 C.0≤a≤1 D.﹣4≤a≤5 二、填空题 13.当a＝2，b＝﹣7，c＝5时，代数式的值是      　． 14.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这三位数比它的个位与十位数字的积的25倍大513，则这个三位数是　    　． 15.在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4），则OB的最小值是     　． 16.如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是　    　m． 17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　    　． 三、解答题 18.已知A＝a+2，B＝a2﹣a+5，试比较A、B的大小． 19.已知一元二次方程（x﹣3）2＝1． （1）求方程的根． （2）若方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 20.求方程x2+3＝2x﹣4的二次项系数，一次项系数及常数项的积． 21.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当m＝0时，请直接写出x的值； （2）当y＝8时，求n的值． 22.王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． 因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上面的经验，请你就代数式x2+6x﹣12的值提出一个问题，并加以解决．如果是﹣x2+4x﹣1呢？ 华师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A.x2+1＝0 B.x2+2x+1＝0 C.x2+2x+3＝0 D.x2+2x﹣3＝0 【答案】D 【解析】A.x2+1＝0中Δ＜0，没有实数根； B.x2+2x+1＝0中Δ＝0，有两个相等的实数根； C.x2+2x+3＝0中Δ＜0，没有实数根； D.x2+2x﹣3＝0中Δ＞0，有两个不相等的实数根． 故选：D． 2.下列方程：x2＝1；（x﹣2）2＝5；（x+3）2＝3；x2＝x+3；3x2﹣3＝x2+1；y2﹣2y﹣3＝0．其中，适合用开平方法解的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】方程x2＝1，（x﹣2）2＝5，（x+3）2＝3，可直接用开平方法来解；方程3x2﹣3＝x2+1移项后也适合用开平方法来解，故适合用开平方法解的有4个． 故选：D． 3.若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的二次项系数、一次项系数与常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（　　） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 【答案】B 【解析】当x＝1时，a+b+c＝0，所以方程必有一个根是1． 故选：B． 4.已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0讨论如下，则下列判断正确的是（　　） A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对 C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对 【答案】D 【解析】当m﹣2≠0，即m≠2时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0为一元二次方程，所以乙的判断正确； 当m﹣2＝0，即m＝2，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0变形为2x﹣1＝0，此时方程为一元一次方程，所以甲的判断错误； 若m＝2，解方程2x﹣1＝0得x＝， 若m≠2，当Δ≥0时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，即22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2，所以丁的判定正确； 若m≠2，当Δ＜0时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，即22﹣4（m﹣2）×（﹣1）＜0，解得m＜1，所以丙的判定错误． 故选：D． 5.下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A 【解析】①方程x2＝0是一元二次方程，①符合题意； ②当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，②不符合题意； ③方程x2﹣3＝x是一元二次方程，③符合题意； ④方程a2+a﹣x＝0是一元一次方程，④不符合题意； ⑤原方程可整理得2x+10＝0，该方程为一元一次方程，⑤不符合题意． ∴关于x的一元二次方程有①③，共2个． 故选：A． 6.用配方法将二次三项式x2﹣8x﹣9化为a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A.（x﹣4）2﹣25 B.（x+4）2﹣25 C.（x+4）2+7 D.（x﹣4）2+7 【答案】A 【解析】x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25． 故选：A． 7.已知a+b+c＝0，4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝2 B.x1＝1，x2＝﹣2 C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝﹣1，x2＝﹣2 【答案】A 【解析】把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0中可得a+b+c＝0， ∴方程一定有一个根是x＝1， 把x＝2代入方程ax2+bx+c＝0中可得4a+2b+c＝0， ∴方程一定有一个根是x＝2， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝2， 故选：A． 8.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】C 【解析】依题意得：（1+m）2＝196， 解得：m1＝13，m2＝﹣14（不合题意，舍去）． 故选：C． 9.定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵x*a＝3， ∴x2﹣2x﹣3a＝3， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0， 解得a＞﹣． 故选：C． 10.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 【答案】D 【解析】设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3， 故这个三位数是：321， 当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1， 故这个三位数是：123， 同理可得：这个三位数可以为：±123或±321． 故选：D． 11.方程2x2﹣6x+3＝0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A.3 B.2 C.1 D. 【答案】B 【解析】2x2﹣6x+3＝0， 这里a＝2，b＝﹣6，c＝3， ∵Δ＝36﹣24＝12， ∴x＝＝，即p＝； 2x2﹣2x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝4+8＝12， ∴x＝＝，即q＝， 则p+q＝+＝＝2． 故选：B． 12.若m是关于x的方程﹣x2﹣2ax﹣a2+4＝0的某个根，且﹣3≤m≤2，则a的取值范围是（　　） A.﹣4≤a≤1 B.0≤a≤5 C.0≤a≤1 D.﹣4≤a≤5 【答案】D 【解析】∵﹣x2﹣2ax﹣a2+4＝0， ∴﹣（x+a）2+4＝0， ∴（2+x+a）（2﹣x﹣a）＝0， ∴x＝﹣2﹣a或x＝2﹣a， 当m＝﹣2﹣a时， ∵﹣3≤m≤2， ∴﹣3≤﹣2﹣a≤2， ∴﹣4≤a≤1， 当m＝2﹣a时， ∵﹣3≤m≤2， ∴﹣3≤2﹣a≤2， ∴0≤a≤5， 综上，﹣4≤a≤5， 故选：D． 二、填空题 13.当a＝2，b＝﹣7，c＝5时，代数式的值是      　． 【答案】 【解析】当a＝2，b＝﹣7，c＝5时， 代数式＝＝＝． 故答案为：． 14.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这三位数比它的个位与十位数字的积的25倍大513，则这个三位数是　    　． 【答案】963 【解析】设该三位数的个位数字是x，则十位数字是（x+3），百位数字是x2． 依题意得：100x2+10（x+3）+x＝25x（x+3）+513， 整理，得75x2﹣64x﹣483＝0， 解方程，得x1＝3，x2＝（舍去）． 则十位数字为：x+3＝6，百位数字为：x2＝32＝9． 所以，这个三位数是963． 故答案为：963． 15.在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4），则OB的最小值是     　． 【答案】2 【解析】∵点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4）， ∴OB＝＝＝≥＝2． ∴OB的最小值是2． 故答案为：2． 16.如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是　    　m． 【答案】25 【解析】根据题意得：＝5（2b﹣5）， 4a2﹣4ab+2b2＝10b﹣25， 4a2﹣4ab+2b2﹣10b+25＝0， 4a2﹣4ab+b2+b2﹣10b+25＝0， （2a﹣b）2+（b﹣5）2＝0， ∵（2a﹣b）2≥0，（b﹣5）2≥0， ∴2a﹣b＝0，b﹣5＝0， ∴b＝5，a＝， ∴这段铁丝的总长是5（2b﹣5）＝5×（2×5﹣5）＝25（m）． 故答案为：25． 17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　    　． 【答案】x1＝﹣1，x2＝ 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有唯一实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＝0，解得a＝±2， ∵关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0是一元二次方程， ∴a＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0为x2+2x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， ∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根， ∴x＝﹣1是x的一元二次方程4x2+bx+1＝0的根， ∴﹣4×（﹣1）2﹣b+1＝0， ∴b＝﹣3， ∴关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0为﹣4x2﹣3x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝． 三、解答题 18.已知A＝a+2，B＝a2﹣a+5，试比较A、B的大小． 【答案】解：∵B﹣A＝a2﹣a+5﹣a﹣2＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2， ∵（a﹣1）2≥0，（a﹣1）2+2＞0， ∴B＞A． 19.已知一元二次方程（x﹣3）2＝1． （1）求方程的根． （2）若方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 【答案】解：（1）∵（x﹣3）2＝1， ∴x﹣3＝±1， 解得x1＝4，x2＝2； （2）∵方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， ∴当底边长为4，腰长为2时，4＝2+2，此时不能构成三角形； 当底边长为2，腰长为4时，能构成三角形， ∴△ABC的周长为2+4+4＝10． 20.求方程x2+3＝2x﹣4的二次项系数，一次项系数及常数项的积． 【答案】解：原方程可化为：x2﹣2x+7＝0， 二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为7． 它们的积为×（﹣2）×7＝﹣28． 21.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当m＝0时，请直接写出x的值； （2）当y＝8时，求n的值． 【答案】解：（1）由题意可得：x2+2x＝0， ∴x（x+2）＝0， 则x＝0或x+2＝0， 解得x＝0或﹣2； （2）由题意得：m＝x2+2x，n＝2x+3， ∵m+n＝8， ∴x2+2x+2x+3＝8， 整理得：x2+4x﹣5＝0， ∴（x+5）（x﹣1）＝0， 则x+5＝0或x﹣1＝0， 解得x＝﹣5或1， ∴n＝﹣7或5． 22.王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． 因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上面的经验，请你就代数式x2+6x﹣12的值提出一个问题，并加以解决．如果是﹣x2+4x﹣1呢？ 【答案】解：求代数式x2+6x﹣12最小值， x2+6x﹣12＝x2+6x+9﹣9﹣12＝（x+3）2﹣21， ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣21≥﹣21， ∴代数式x2+6x﹣12最小值是﹣21， ﹣x2+4x﹣1＝﹣x2+4x﹣4+4﹣1＝﹣（x﹣2）2+3， ∴代数式﹣x2+4x﹣1的最大值是3． 学科网（北京）股份有限公司 $