第22章 一元二次方程 同步训练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 3．若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 5．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 6．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．某商店以每件元的价格购进一批商品，根据规定，每件商品的利润不得超过．若每件商品的售价定为元，则可卖出件．如果商店预期要盈利元，那么每件商品的售价应定为（   ） A．20元 B．20.8元 C．20元或30元 D．30元 二、填空题 9．关于x的方程有实数根，则m应满足的条件是 ． 10．若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 11．若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 12．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 ． 13．若，是方程两根，则的值为 ． 三、解答题 14．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 15．解方程 (1)； (2)． 16．某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于12元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品售价是多少时利润为85万元（利润=总售价－总成本－研发费用）． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，．平分交于点D，点P在射线上，以为边作． (1)求证：； (2)当为菱形时，求Q的坐标； (3)当为直角三角形时，求的面积 18．如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）． (2)当时，求的值． (3)连接，当时，求的值． (4)当点在边上，且时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 2．C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式，得， ∴或， 解得：． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的解． 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 根据题目条件，将和代入方程验证，并结合方程根的定义求解． 【详解】已知方程满足和． 当时，代入方程得，说明是方程的根． 当时，代入方程得， 说明是方程的根． 因此，方程的两个根为和． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据各个方程判断最适合的方法即可得解，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解此题的关键． 【详解】解：A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意； 故选：C． 7．A 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，， 即的两个根分别是，， 则，， 解得， 故，， 故， 解得 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出方程并检验结果是否符合题意是解题的关键． 本题可根据利润的计算公式列出方程，再结合利润限制条件求解，设每件商品的售价应定为元，则利润为元，根据要盈利元，列方程求解． 【详解】解：设每件商品的售价应定为元，则利润为元，由题意得， 整理得 解得： 当时， 每件商品的利润不得超过． 不符合题意，舍去． 故每件商品的售价应定为元． 故选：A． 9． 【分析】需要分类讨论：①当该方程是一元一次方程时，二次项系数；②当该方程是一元二次方程时，二次项系数，；综合①②即可求得m满足的条件． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答本题要注意分类讨论，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：①当关于x的方程是一元一次方程时， ， 解得，； ②当是一元二次方程时， ，且， 解得，且； 综合①②知，m满足的条件是． 故答案为：． 10．1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 11．一、三 【分析】本题考查了反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数的取值范围． 本题根据反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 12．10 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 13． 【分析】本题考查一元二次方程根根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得，，同时将转化为，可得结论．解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是方程两根， ∴，， ∴， 即的值为． 故答案为：． 14．该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、换元法、因式分解法成为解题的关键． （1）设，则，再移项、运用直接开平方法求得y，进而求得x即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， 所以该方程的解为：． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为：． 16．(1) (2)这种电子产品售价是元/件或元/件时利润为85万元 【分析】本题主要考查一元二次方程和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式是，将，代入得方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意得：，然后代入解方程即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 将，代入得： ，解得， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：，， 答：这种电子产品售价是元/件或元/件时利润为85万元． 17．(1)见解析 (2)或 (3)16或8或48 【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形、求一次函数解析式、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）分别求得，即可证得结论； （2）先根据矩形性质和等腰三角形的判定得到，，，再利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，则，由菱形性质得到，，进而利用两点坐标距离公式列方程求得m值即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，利用勾股定理和两点坐标距离公式列方程求得m值，进而得到对应的点P坐标即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 设的函数关系式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴，，即轴 ∴， 解得，， ∴或， ∵轴，， ∴或； （3）解：由（2）可得，又，， ∴， ， 当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，， ∴， 解得，， ∴当时，，则P与C重合， ∴的面积为； 当时，，又，， ∴的面积为； ②当时，， ∴， 解得， ∴，又，， ∴的面积为， 综上，的面积为16或8或48． 18．(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了动点问题、列代数式、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先画出图形，再求出，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （3）先题意画出图形可得：， ，再根据勾股定理列方程求得，再，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （4）由点在边上可得，据此画出图形，再用x表示出，，然后根据列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴ 由题意可得：，则． 故答案为：，． （2）解：如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （3）解：由题意可得：， ， ∵， ∴，解得：， 如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （4）解：如图：∵点在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去）， ∴的值为7． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$