精品解析：甘肃省兰州十九中教育集团2025-2026学年上学期九年级数学期中测试

兰州十九中教育集团2025~2026学年度第一学期期中测试 九年级 数学 总分120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共33分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程即可； 【详解】解：A． 未说明，故A错误； B． 有两个未知数， ∴不是一元二次方程，故B错误； C． ，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，故C正确； D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误； 故选∶C． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据如果四条线段满足，则四条线段称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，则不是成比例线段，故不符合题意； B、，则不是成比例线段，故不符合题意； C、，则不是成比例线段，故不符合题意； D、，则是成比例线段，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，在三角形中，，，，点是中点，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案. 【详解】解：∵ ∴ ∴为直角三角形，为斜边 又为的中点 ∴ 故选：C． 4. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三月份为4万人，五月份为万人，设平均每月增长率为x，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键． 5. 等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，利用因式分解法求出方程的解得到x的值为3或4，分两种情况考虑：当3为腰，4为底边时，求出周长；当3为底，4为腰时，求出周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 当3为等腰三角形的腰时，4为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为； 当4为等腰三角形的腰时，3为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为，综上，这个三角形的周长为10或11． 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】解：， ，，， ， 故该二次函数没有实数根， 故选：C． 7. 射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中九环以上的次数 射中九环以上的频率（结果保留两位小数） 估计这名运动员射击一次“射中九环以上”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是． 故选：C． 8. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形得到，整理后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是菱形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用.根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A、根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，故该选项不符合题意； B、根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； C、根据菱形的判定“对角线垂直的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； D、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”，而不是正方形，故该选项符合题意； 故选：D. 10. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 11. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 12. 将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，则两个纸条重叠部分组成的四边形是_________． 【答案】菱形 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，作于，先证明四边形是平行四边形，可得，可得，结合，证明，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接，过作于，作于， 由纸条的对边平行可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵纸条等宽，则， ∴， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解本题的关键． 13. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 14. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE=， ∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟知轴对称的性质． 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1）2x2﹣6x﹣1＝0 （2）（x+5）2＝6（x+5） 【答案】（1）；（2）x＝﹣5或x＝1． 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）∵a=2，b=﹣6，c=﹣1， ∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0， 则x； （2）∵(x+5)2﹣6(x+5)=0， ∴(x+5)(x﹣1)=0， 则x+5=0或x﹣1=0， 解得：x=﹣5或x=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键． 17. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）12 （2）6 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键． （1）由可得，再代入数据即可得到结论； （2）由，可得，可得，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 已知，如图所示，中，是角平分线，E，F分别是，上的点，且，，试说明四边形是菱形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 是的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】可证四边形是平行四边形，再证，从而可得，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 19. 甘肃是农耕文化的发源地之一，这里深厚的黄土孕育出了很多美食：可口的牛肉面，临夏的手抓羊肉，天水的麻辣烫等，李华在兰州旅游期间来到了一家甘肃特色小吃店，他决定在“A．兰州拉面，B．临夏羊肉，C．天水麻辣烫，D．定西浆水面”这四种小吃中选择两种小吃进行品尝．若选择每种小吃的可能性相同． （1）请用画树状图或列表的方法表示出李华选两种小吃的所有可能的结果； （2）求出李华选择品尝两种都是面食的概率． 【答案】（1）画树状图如下： ，共有12种 （2） 【解析】 【分析】（1）运用画树状图，再得出李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种， （2）因为李华选择品尝两种都是面食的结果有种，所以李华选择品尝两种都是面食的概率，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把四种小吃分别记为A．兰州拉面，B．临夏羊肉，C．天水麻辣烫，D．定西浆水面， 李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种， 【小问2详解】 解：由（1）得李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种， 其中李华选择品尝两种都是面食的结果有种， ∴李华选择品尝两种都是面食的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），另一个根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根以及根与系数的关系； （1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况； （2）把代入方程可求的值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 解得， 设，另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， ∴， ∴． 21. 如图，点、分别是菱形的边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质， （1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）由菱形的性质可得，可求，由平行四边形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 又四边形是平行四边形， ． 22. 如图，点在平行四边形的边上，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：； （2）当，且时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，进而得出，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 24. 如图，在中，，为边上一点，以，为邻边作，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 又 ，， ， ， ， 在和中， ； （2） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，且， 四边形是平行四边形， 又，， ，即， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形性质得出边和角的关系，再结合已知条件找全等的条件证明； （2）先证四边形是平行四边形，再证对角线相等或有一个角是直角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定（）、矩形的判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等、矩形的判定条件（有一个角是直角的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键． 25. 综合探究 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【问题情境】 分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间的关系． 【初步感知】 （1）如图1，若，直接写出与之间的关系； 【深入探究】 （2）在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，过点C作，垂足为点H，的延长线交于点M，求证：． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图所示，延长交于H，交于M， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图所示，延长到Q，使，连接，分别交于N、T， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线分线段成比例定理等． （1）延长交于H，证明，得出，进而证明； （2）延长交于H，交于M，证明，得出，进而证明； （3）延长到Q，使，连接，分别交于N、T，证明，进而证明，即可证明结论． 【详解】解：（1）如图所示，延长交于H， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， 点在上， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 26. 定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）“倍根方程” （2） （3）这个方程的根是2，4或， 【解析】 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用， （1）根据方程的解，判断是否是倍根方程； （2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案； （3）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∵， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：“倍根方程”； 【小问2详解】 解：设是“倍根方程”的两个根，且． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设一元二次方程的两个实数根分别是． ∵这个方程即是“倍根方程”又是“方根方程”， 当，即， 解得或（舍）， ∴； 当， 即， 解得或（舍）， ∴． ∴这个方程的根是2，4或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十九中教育集团2025~2026学年度第一学期期中测试 九年级 数学 总分120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共33分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图，在三角形中，，，，点是中点，则等于( ) A. B. C. D. 4. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 10或11 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 7. 射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中九环以上的次数 射中九环以上的频率（结果保留两位小数） 估计这名运动员射击一次“射中九环以上”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是菱形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 10. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 12. 将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，则两个纸条重叠部分组成的四边形是_________． 13. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 14. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1）2x2﹣6x﹣1＝0 （2）（x+5）2＝6（x+5） 17. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 18. 已知，如图所示，中，是角平分线，E，F分别是，上的点，且，，试说明四边形是菱形． 19. 甘肃是农耕文化的发源地之一，这里深厚的黄土孕育出了很多美食：可口的牛肉面，临夏的手抓羊肉，天水的麻辣烫等，李华在兰州旅游期间来到了一家甘肃特色小吃店，他决定在“A．兰州拉面，B．临夏羊肉，C．天水麻辣烫，D．定西浆水面”这四种小吃中选择两种小吃进行品尝．若选择每种小吃的可能性相同． （1）请用画树状图或列表的方法表示出李华选两种小吃的所有可能的结果； （2）求出李华选择品尝两种都是面食的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根． 21. 如图，点、分别是菱形的边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，点在平行四边形的边上，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：； （2）当，且时，求的长． 23. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 24. 如图，在中，，为边上一点，以，为邻边作，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 25. 综合探究 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【问题情境】 分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间的关系． 【初步感知】 （1）如图1，若，直接写出与之间的关系； 【深入探究】 （2）在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，过点C作，垂足为点H，的延长线交于点M，求证：． 26. 定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $