专题2 解直角三角形-2025-2026学年青岛版九年级数学上册期中考试专题复习

专题2 解直角三角形 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是锐角，且，则的值为    A. B. C. D. 1 2.在中，，，则的形状(    ) A. 一定是锐角三角形 B. -定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 3.如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在交点处，则的正弦值为(    ) A. B. C. D. 4.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.如图，一艘轮船由南向北航行，在A处测得北偏东方向上有一灯塔P，继续航行20 n mile后到B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上.若轮船保持航向不变继续航行，则灯塔与轮船的最近距离PC为    A. 10 n mile B. 15 n mile C. 13 n mile D. 8 n mile 二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 6.如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是(    ) A. B. C. D. 7.将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为1，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 8.在中，，，，则BC的长为          . 9.如图，在正方形ABCD外作等腰直角，，连接BE，则___. 10.如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则的正切值为      . 11.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里． 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题8分 计算： ； 13.本小题8分 计算： ； 14.本小题8分 如图，在中，，BD是AC边上的中线，过点D作，垂足为点E，若， 求BC的长； 求的正切值. 15.本小题8分 如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道步道可以骑行，组成一个四边形ABCD，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向1600米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米，景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向. 求步道AB的长度结果保留根号； 小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟300米；小莹沿路线，速度为每分钟200米.请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点参考数据：， 16.本小题8分 图1是我国古代提水的器具桔槔éā，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿小竹竿始终与地面垂直，小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时， 如图2，求支点O到小竹竿AC的距离结果精确到米； 如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至的位置，小竹竿AC至的位置，此时，求点A上升的高度结果精确到米参考数据：，，， 17.本小题8分 图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角 求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； 若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由结果精确到，参考数据：，，， 18.本小题8分 知识再现 如图1，在中，，，，的对边分别为a，b， ， ， 拓展探究 如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b， 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解决问题 如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得，，请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【点拨】本题考查特殊角的三角函数值． ，且是锐角，，故选 2.【答案】B  【解析】解：中，，， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选： 先根据中，，求出及的度数，进而可得出结论． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：如图，取BC的中点D，连接AD， 由网格可得，， ， 在中， ， 故选： 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 取BC的中点D，连接AD，利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角函数的意义求解即可． 4.【答案】A  【解析】解：设大厅两层之间的距离为5x米， 扶梯的坡度：12， 扶梯的水平宽度为12x米， 由勾股定理得：， 解得：负值舍去， 大厅两层之间的距离为米， 故选： 设大厅两层之间的距离为5x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的水平宽度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比． 5.【答案】A  【解析】略 6.【答案】AD  【解析】解：观察图形可得，故选项A符合题意； B.观察图形可得，故选项B不符合题意； C.观察图形可得，故选项C不符合题意； D.如图，延长BC至D，连接AD， 则， ，， ，故选项D符合题意． 故选： 根据锐角三角函数的定义分别求出每个图形中的的正切值可得答案． 本题考查了解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7.【答案】AC  【解析】解：如图所示， ， 在中， ， 故A选项符合题意． 在中， ， ， 故B选项不符合题意． ， ， 在中， ， ， 则， 故C选项符合题意． 在中， ， ， 则， ， 故D选项不符合题意． 故选： 根据平行线的性质，将所给的角度进行转化，再根据正弦、正切的定义及三角形的面积公式依次进行判断即可． 本题主要考查了解直角三角形、几何体的展开图及三角形的面积，熟知正弦、正切的定义及三角形的面积公式是解题的关键． 8.【答案】5  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义，也考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质． 作，交BC延长线于F，设，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用正方形的性质得，，接着判断为等腰直角三角形，得到，然后在中根据正切的定义求解． 【解答】 解：作，交BC延长线于F，如图，设， 为等腰直角三角形， ，， 四边形ABCD为正方形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 即 故答案为 10.【答案】3  【解析】解：连接DM，CM，如图所示， 令网格的边长为a， 则由勾股定理得， ， 在中， 因为， 所以， 所以 故答案为： 将点D与图中的格点M连接，再连接CM，构造出直角三角形即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，能通过连接格点构造出合适的直角三角形是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：作于点D， 由题意得，，， 则， ， ， 在中，， 在中，， 则， 故答案为： 作于点D，根据题意分别求出的度数和AB的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 12.【答案】解：； 原式   【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键． 13.【答案】解： ；   【解析】先根据算术平方根、特殊角的三角函数值进行计算，再合并即可； 先把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14.【答案】解：， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 过点A作BC的垂线，垂足为M， ，， 是AC边上的中线， 在中， ， ， ， ， 在中，   【解析】先根据的正弦及BD的长，得出DE的长，进一步得出BE和CE的长即可解决问题． 过点A作BC的垂线，垂足为M，分别求出AM及BM的长，再利用正切的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，熟知特殊角的三角函数值及正弦、正切的定义是解题的关键． 15.【答案】解：由题意得，，，，米，米， ， 过点M作于M，则， 为等腰直角三角形， 米， 米， 米， 答：步道AB的长度为米； 米，，， 米，米， 路线②的路程为米， 小莹到达景点A的时间为分钟， 路线①的路程为米， 小明到达景点A的时间为分钟， ， 小莹先到达景点  【解析】根据题意得到，，，米，米，求得，过点M作于M，则，根据等腰直角三角形的性质得到米，根据勾股定理得到米，于是得到结论； 根据直角三角形的性质得到米，米，得到小莹到达景点A的时间为分钟，求得小明到达景点A的时间为分钟，比较两人所用时间，即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】解：过点O作，垂足为G， ， 由题意得：， ， ， ， 为AB的中点， 米， 在中， 米，米， 此时支点O到小竹竿AC的距离约为米； 设OG交于点H， 由题意得：，，米， ， 在中，米， 米， 米， 点A上升的高度约为米．  【解析】过点O作，垂足为G，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后根据线段的中点定义可得米，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； 设OG交于点H，根据题意可得：，，米，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：如图，作，垂足为点E， 在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为 没有危险，理由如下： 过作，垂足为点F， ，， ， ， ， 在中，， 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为 ， 没有危险．  【解析】作，垂足为点E，先求出的长，再求出的长即可； 过作，垂足为点F，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 18.【答案】解：拓展探究 如图，作于点D，于点E， 在中，， 同理：， ， ， ，，，， ， ； 即在锐角中， 解决问题 在中，， ， ， ， 点A到点B的距离为  【解析】拓展研究：作于点D，于点E，根据正弦的定义得，，，，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知，，代入计算即可． 本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $