专题1 图形的相似-2025-2026学年青岛版九年级数学上册期中考试专题复习

专题1 图形的相似 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知，AD：：5，，那么CE的长等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，下列条件不能使与相似的是(    ) A. B. C. D. 4.如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是(    ) A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 5.如图，在矩形ABCD中，，，若，则线段AE的长为(    ) A. B. 3 C. D. 4 6.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，与位似，点O为位似中心．已知OA：：1，则与的面积比为(    ) A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 8.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若，则BC的值是(    ) A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为______. 10.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点测得，，，则树高           11.如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD相交于点O，的面积为1平方厘米，的面积为4平方厘米，则的面积为      平方厘米. 12.如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点将绕点B逆时针旋转得到，当，，D三点共线时，的长为          . 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题8分 为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在一条直线上，且，点A，C，E也在一条直线上，且经测量米，米，米，求河的宽度AB为多少米． 14.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，B，C两点的坐标分别为， 以原点O为位似中心，在y轴左侧画出将放大两倍，得到的； 分别写出B，C两点的对应点，的坐标； 已知为内部一点，直接写出点M在中的对应点的坐标. 15.本小题8分 如图，在中，AD平分，点E在AC上，且 求证：∽； 若，，求的值. 16.本小题8分 如图，AF，AG分别是和的高， 求证：； 若，，求BC的长. 17.本小题8分 如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F， 求证：； 若，求AE的长； 如图2，连接AG，求证： 18.本小题8分 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点D作DE垂直于直线，垂足为点E，连接， 如图1，当时，的形状为______，连接BD，可求出的值为______； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ，， ，A错误，不符合题意； ， ，B正确，符合题意； ， ，C错误不符合题意； ， ，D错误不符合题意， 故选： 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例得到，即，求出BC，然后利用进行计算即可得出答案． 本题考查了平行线分线段成比例：掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 【解答】 解：， ，即， ， ， 故选 3.【答案】C  【解析】解：A、由，，可以判定∽，本选项不符合题意； B、由，，可以判定∽，本选项不符合题意； C、由，无法判断两个三角形相似，本选项符合题意． D、由，，可以判定∽，本选项不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 4.【答案】B  【解析】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4， 故选： 根据相似三角形的性质判断即可． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD为矩形， ，，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ∽， ， ， ， 故选： 先根据勾股定理求出，再证∽得，则，由此可得AE的长． 此题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：由题意，，， ：：2， 选项C中的三角形是直角边比为1：2的直角三角形，符合题意． 故选： 根据直角三角形的两条直角边的比为1：2判断即可． 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 7.【答案】B  【解析】解：：：1， ：：2， 与的相似比为1：2， 与的面积比为1：4， 故选： 先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案． 本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：是AD的中点， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ∽，∽， ，， ， 解得， 故选： 由四边形ABCD是平行四边形，得，，在证明∽，∽，利用相似三角形的性质即可得解． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解． 9.【答案】1：2  【解析】解：两个相似多边形面积的比为1：4， 它们的相似比为1： 故答案为：1：2 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键． 10.【答案】6  【解析】略 11.【答案】2  【解析】解：， ∽， ， 的面积为1平方厘米，的面积为4平方厘米， ， ， ， 的面积为平方厘米， 故答案为： 证明∽，根据“相似三角形面积之比等于相似比的平方”可得，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形判定定理及性质是解答本题的关键． 12.【答案】或  【解析】①当在BD的上方时，，是等腰直角三角形，，，∽，，，，，，，， ②当在BD的下方时，如图所示．同理可证∽，，，，，，，，综上所述，的长为或 13.【答案】解：，∽，，即，解得  故河的宽度AB为20米．  【解析】略 14.【答案】【小题1】 解：如答图，即为所求. 【小题2】 由图象可得点， 【小题3】 点的坐标为   【解析】 略  略  略 15.【答案】证明：平分， ， ， ， ， ∽； 解：∽， ， ， 即，   【解析】由角平分线的定义和等量代换得易证明，由两直线平行即可证明∽； 由∽，其性质得，再由等式的性质即可得到的值． 本题考查了角平分线的定义，三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16.【答案】【小题1】 证明：，AG分别是和的高， ，， ， ， 又， 【小题2】 解：， ，，   【解析】 略  略 17.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ， 又，， 在和中， ， ≌， ， 故； 四边形ABCD是矩形， ， ∽， ，即， ≌， ，， 设，则有，化简得， 解得或舍去， 证明：如图，在线段EG上取点P，使得， 在与中， ， ≌， ，，， ， 为等腰直角三角形，   【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．证明≌，得出，证得，则结论得出； 证明∽，得出，即，设，则有，化简得，解方程即可得出答案； 在线段EG上取点P，使得，证明≌，得出，，，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 18.【答案】解：等腰直角三角形；； ①两结论仍然成立． 证明：连接BD， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， 即， ∽， ②或  【解析】【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由旋转的性质得出，，证得是等边三角形，可得出是等腰直角三角形．证明∽，得出 ①得出，则是等腰直角三角形，得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出 ②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案． 【解答】 解：绕点A逆时针旋转至， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 连接BD，则是等腰直角三角形， 四边形ABCD是正方形， ， ， 同理， ， ，， ， ∽， 故答案为：等腰直角三角形； ①见答案 ②若CD为平行四边形的对角线，， 点在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点连接BO交于点， 过点D作交的延长线于点E， 由可知是等腰直角三角形， ， 由①可知∽，且 若CD为平行四边形的一边，如图3， 点E与点A重合， 综合以上可得或 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $