专题01 图形的相似（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题01 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 基础考点，多在选择题或填空题中考查线段比例的判断 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段比例相关问题 重要考点，常与三角形相似等知识结合，在选择题、填空题及证明题中出现 认识相似图形 理解相似图形的概念，能识别生活中的相似图形，明确相似图形的性质 基础考点，多以选择题形式考查相似图形的识别与性质理解 相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），并能灵活运用解决问题 核心高频考点，贯穿相似三角形相关题目，在选择题、填空题、证明题、计算题中均有大量考查，是相似图形知识的重点与难点 相似三角形与实际问题 能运用相似三角形的知识解决实际生活中的测量、投影等问题 重要考点，常以应用题形式考查，体现数学知识在实际中的应用，难度中等 图形的位似 理解位似图形的概念、性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，会画位似图形 重要考点，常与相似三角形结合，在作图题、选择题、填空题中考查位似图形的性质与作图 知识点01 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也 可以） 3） 判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第 二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 知识点02 比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2） 拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、 叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄 金分割点。 知识点03 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点04 相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一 种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似 多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点05 利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是 其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 知识点06 位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2） 相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位 似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于 1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延 长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标 应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上 加、下减。 （3） 轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴 翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为， 则其位似图形对应点的坐标为或。 题型一 黄金分割 【例1】（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点E，F在矩形的边上，矩形∽矩形．①若四边形是正方形，则点F是线段的黄金分割点；②若，则矩形矩形．上述命题（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 题型二 相似多边形的性质 解｜题｜技｜巧 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【变式2-1】（21-22九年级上·河南安阳·期末）如图所示的与的方格都是由边长为1的小正方形组成的．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格点上）． (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点为对称中心，画出这个四边形的中心对称图形． (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来的倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比：______． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知矩形ABCD与矩形相似，它们的一组对应边的长分别为，那么矩形ABCD与矩形的相似比为（    ） A． B． C． D． 题型三 相似三角形的判定综合 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【例3】（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2) 将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·广东东莞·一模）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕 题型五 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 易错分析：用错公式，误以为相似三角形面积的比等于相似比. 【例5】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 【变式5-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【变式5-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，点在第一象限，过M作x轴的垂线与交于点P，． (1)求点M的坐标； (2)求的面积； (3)Q是直线上一点，当与相似时，求点Q的坐标． 题型六 证明三角形的对应线段成比例 【例6】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【变式6-1】（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式6-2】（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 题型七 利用相似求坐标 【例7】（22-23九年级上·上海·阶段练习）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（     ）. A． B． C． D． 【变式7-1】（2021·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例8】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A．B． C． D． 【变式8-1】（22-23九年级上·全国·期中）如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【变式8-2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)直接写出的形状___________； (2)在图1作出边上的高； (3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O． 题型九 相似三角形—动点问题 【例9】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式9-1】（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【变式9-2】（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是、中点，连接，点从点出发，沿线段方向匀速运动（不与、两点重合），速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动，连接设运动时间为，解答下列问题： (1)求证：； (2)当点在线段上运动时，若的面积为，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 题型十 相似三角形的判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 【例10】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，交于点F，过点F作交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式10-2】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 题型十一 相似三角形实际应用 【例11】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【变式11-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【变式11-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 题型十二 相似三角形的综合问题 【例12】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【变式12-1】（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【变式12-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 题型十三 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例13】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【变式13-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． (1)在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． (2)在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． (3)在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【变式13-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 题型十四 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例14】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【变式14-1】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)已知的面积为m，则的面积是______． 【变式14-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型十五 坐标与图形综合 【例15】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知等腰中，，，与轴交于点，， (1)求点B的坐标 (2)求的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 【变式15-2】（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22九年级上·河南驻马店·期中）把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ． 5．（25-26九年级上·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 7．（22-23九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 3．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在方格纸上有和，则与的面积比为 ． 5．（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 7．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，，，，，求的长． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 9．（22-23九年级上·全国·期中）根据所给的图形解答下列问题： (1)如图1，中，于D，把绕点A旋转，并拼接成一个与面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； (2)如图2，中，，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形； (3)设计一种方法把图3中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形的面积的结论． 10．（22-23九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，， ．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 4．（24-25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为 ． 7．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 基础考点，多在选择题或填空题中考查线段比例的判断 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段比例相关问题 重要考点，常与三角形相似等知识结合，在选择题、填空题及证明题中出现 认识相似图形 理解相似图形的概念，能识别生活中的相似图形，明确相似图形的性质 基础考点，多以选择题形式考查相似图形的识别与性质理解 相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），并能灵活运用解决问题 核心高频考点，贯穿相似三角形相关题目，在选择题、填空题、证明题、计算题中均有大量考查，是相似图形知识的重点与难点 相似三角形与实际问题 能运用相似三角形的知识解决实际生活中的测量、投影等问题 重要考点，常以应用题形式考查，体现数学知识在实际中的应用，难度中等 图形的位似 理解位似图形的概念、性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，会画位似图形 重要考点，常与相似三角形结合，在作图题、选择题、填空题中考查位似图形的性质与作图 知识点01 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也 可以） 3） 判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第 二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 知识点02 比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2） 拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、 叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄 金分割点。 知识点03 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点04 相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一 种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似 多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点05 利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是 其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 知识点06 位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2） 相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位 似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于 1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延 长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标 应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上 加、下减。 （3） 轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴 翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为， 则其位似图形对应点的坐标为或。 题型一 黄金分割 【例1】（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【完整解答】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点E，F在矩形的边上，矩形∽矩形．①若四边形是正方形，则点F是线段的黄金分割点；②若，则矩形矩形．上述命题（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【思路引导】①正确，证明即可； ②正确，设利用相似多边形的性质求出，证明可得结论． 【完整解答】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点F是线段的黄金分割点，故①正确； ②∵， ∴可以假设，则， ∵矩形 矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴矩形矩形，故②正确， 故选：A． 【考点评析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二 相似多边形的性质 解｜题｜技｜巧 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【答案】，， 【思路引导】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题．观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出，，再根据四边形的内角和等于可计算求出的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度x． 【完整解答】解：∵四边形四边形， ∴，∠A=∠E=118°， 在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式2-1】（21-22九年级上·河南安阳·期末）如图所示的与的方格都是由边长为1的小正方形组成的．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格点上）． (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点为对称中心，画出这个四边形的中心对称图形． (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来的倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【思路引导】此题主要考查了作图-位似变换，正确将三角形各边扩大是解题关键． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）根据相似形的性质作出图形即可． 【完整解答】（1）解：选择图形④，如图1所示： （2）解：选择图形③，如图2所示： 扩大前面积：，扩大后面积：， ∴扩大前的图形与扩大后图形的面积比为：， 故答案为：； 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知矩形ABCD与矩形相似，它们的一组对应边的长分别为，那么矩形ABCD与矩形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了相似图形的相似比计算，以及如何将比值化简成最简形式． 根据相似图形的性质，对应边的长度之比即为相似比．题目中给出的一组对应边分别为3cm和4.5cm，需确定它们的顺序并计算比例． 【完整解答】解：题目中矩形与矩形的对应边分别为3cm和4.5cm． 故对应边的比为， 因此，矩形与的相似比为． 故选：A 题型三 相似三角形的判定综合 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 【例3】（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)成立，证明见解析 【思路引导】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【完整解答】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 【变式3-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【完整解答】在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（2023·广东东莞·一模）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答． 【完整解答】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 在中，， ∴， ∴，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解． 【完整解答】解：， A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意； C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕 【答案】或． 【思路引导】先画草图借草图分析．如图 重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值． 【完整解答】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论： 第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点． ∵∠BCA=90° ∴∠MNC=∠BCA 又由对折知：∠MCN=∠A ∴△MCN∽△ABC 由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）； 第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点． ∵∠C=90° ∴∠C=∠NMB 又由对折知∠A=∠NBM ∴△ABC∽△BNM ∴ 又由对折知 ∴（㎝）． 综上分析得MN=㎝或㎝． 故答案为：或． 【考点评析】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之． 题型五 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 易错分析：用错公式，误以为相似三角形面积的比等于相似比. 【例5】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的长为5 【思路引导】本题考查了尺规作图（角平分线的作法）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过角平分线定义和三角形内角和求出相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）以B为圆心画弧交、于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交于内部一点，过B与该点作射线交于D，保留作图痕迹；   （2）①先由三角形内角和求，再根据点B在上得，结合平分求，证明，加公共角可判定相似；②利用相似三角形对应边成比例求，再根据C、D在上得，计算得长． 【完整解答】（1）解：下图即为所求： （2）①证明：在中，，，   ∴；   ∵， ∴；   又∵平分， ∴；   ∴；   ∵，且，   ∴． ②解：∵，   ∴；   ，， ， ， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，点在第一象限，过M作x轴的垂线与交于点P，． (1)求点M的坐标； (2)求的面积； (3)Q是直线上一点，当与相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【思路引导】本题考查一次函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出的坐标，设交轴于点，得到轴，得到，进而求出的长，进而求出点的坐标即可； （2）求出点坐标，利用分割法得到，进行求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 设交轴于点， ∵过M作x轴的垂线与交于点P， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，轴， ∴， ∵点在上， ∴当时，， ∴， ∴， ∴； （3）作于点， ∵， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 当与相似时，分两种情况： 当时，则：， ∴， ∴，即：， 当时，则：， ∴， ∴，即； 综上：或． 题型六 证明三角形的对应线段成比例 【例6】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）连接图中，与的交点即为点P； （2）连接图中，与的交点即为点P； 【完整解答】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；      【考点评析】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键． 【变式6-1】（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【完整解答】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【变式6-2】（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)； (2)①105，90，75；②最多可以摆放40瓶葡萄酒. 【思路引导】（1）过A点作于D，交于E，设正方形的边长为x，根据 即可求出x的长，即正方形的边长. （2）①由等腰三角形的性质可得cm，由勾股定理可求得cm.设第1层、第2层、第3层的隔板长度分别为、、，由阅读理解的结论可分别列方程求解. ②设第n层隔板的长度为，列出比例式，求出与n的关系式，则可求出最多可摆多少层，每层隔板的长度及每层摆多少瓶，最后求出一共可摆多少瓶即可. 【完整解答】（1）    如图，作于D，交于E， 由阅读理解的结论得， 设正方形的边长为x，则 ， 解得. 故答案为： （2）    如图，作于D，           ①设第1层，第2层，第3层隔板的长度的分别为，则 ，解得. ，解得. ，解得 故答案为：105，90，75. ②第n层隔板的长度的分别为，则 ， 得， 因此得， ∴最多可摆7层， 第1层可摆（瓶）， 第2层可摆（瓶）， 第3层可摆（瓶）， 第4层可摆（瓶），     第5层可摆（瓶）， 第6层可摆（瓶）， 第7层可摆（瓶），     共（瓶）， ∴该展台最多可摆40瓶葡萄酒. 【考点评析】本题主要考查了“相似三角形对应高的比等于相似比”，根据此比例式找出y与x之间的关系式是解题的关键. 题型七 利用相似求坐标 【例7】（22-23九年级上·上海·阶段练习）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），求得其关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，待定系数法确定的解析式为y=2x-11，确定与y轴交点（0，-11），根据与垂直，利用相似和待定系数法确定的系数为，从而得到解析式． 【完整解答】根据直线，先将其向右平移3个单位 得到， 取两点（0，11），（1，9）， 所以关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)， 设解析式为y=kx+b， 所以， 解得， 所以解析式为y=2x-11， 所以与y轴交点A（0，-11），与x轴交点B（，0）， 设与x轴的交点为C， 所以OA=11，OB=， 因为绕与y轴的交点逆时针旋转得到， 所以∠OAC+∠OAB=90°， 因为∠OBA+∠OAB=90°， 所以∠OBA=∠OAC， 因为∠BOA=∠AOC=90°， 所以△BOA∽△AOC， 所以， 所以， 解得OC=22， 所以点C（-22，0） 因为过点（0，-11）， 所以的解析式为y=kx-11， 所以22k-11=0, 解得k=， 所以解析式． 故选A． 【考点评析】本题考查了待定系数法，轴对称，平移，旋转，熟练掌握待定系数法，理解旋转的性质和意义是解题的关键． 【变式7-1】（2021·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【完整解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式7-2】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或 【思路引导】（1）①先证明，再证明，，推导出，得； ②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长； （2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点． 【完整解答】（1）①证明：如图1，，， （AA）， ， ，， （AA）， ， ，， ， （SAS）， ， ，． ②如图1，， ， ∵ ∴∠BAE=∠CBA 又∵∠AFE=∠BFC （AA）， ， ，， ， ，， ∵ ∴， ， ，， ∵∠ EAC =∠ CDE=90° ∴C、A、E、D四点共圆， ∴∠CEA=∠CDA ∴△AEF∽△DCF（AA） ∴， ∴，即， 解得， ． （2）如图2，， ， ， ， ，， ， ， ， ∵ ∴ C、E、A、D四点共圆 又∵∠ CDE=90° ∴ ∠ CAE=90° ∴， ， ， ， ∴ △AFE ∽ △ BFC ， 如图3，， ， ，， 设交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图4，，则， ，， ， ， ， 射线与射线没有交点， 综上所述，的长为或． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，分类讨论等腰三角形PCE边的关系式解决本题的关键． 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例8】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 在中，先求出三角形三边的长度，证明是直角三角形，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可对各个选项进行分析判断． 【完整解答】解：在中， ，，， ， 是直角三角形，且两条直角边分别是，， 而A、D选项并不是直角三角形，所以A、D不符合题意； C选项的三角形是直角三角形，且两条直角边分别是， ， C选项中的三角形与相似， 故选：C． 【变式8-1】（22-23九年级上·全国·期中）如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【完整解答】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 【变式8-2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)直接写出的形状___________； (2)在图1作出边上的高； (3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O． 【答案】(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）由勾股定理求出、、长，即可求解； （2）作，使，，再作即可； （3）利用格点作出线段，分别作及中点连线的中垂线，即可交于点O． 【完整解答】（1）解：由勾股定理，得，，， ， 是等腰三角形； （2）解：如图所示，即为所要画的． （3）解：如图，和点O即为所要画的． 【考点评析】本题考查网格作图，勾股定理，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，旋转的性质，画平行线，本题综合性较强，难度较大． 题型九 相似三角形—动点问题 【例9】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【思路引导】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【完整解答】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 【变式9-1】（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【完整解答】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【变式9-2】（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是、中点，连接，点从点出发，沿线段方向匀速运动（不与、两点重合），速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动，连接设运动时间为，解答下列问题： (1)求证：； (2)当点在线段上运动时，若的面积为，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)2； (3)当为1或3或或时，为等腰三角形． 【思路引导】（1）根据矩形的性质，得到判断相似的两个角相等即可； （2）作出合理的辅助线，再根据相似三角形的性质对应边之比相等，进而列出一元二次方程，求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，在动点中，此题要分情况讨论； 【完整解答】（1）解：在矩形中， ，， ∴， ∵，分别是、中点， ∴， ∴ ∴， ∴ （2）解：如图，过点作的延长线于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是中点， ∴，， 由题可得：， ∴， ∴， ∴ （3）解：当点在上时，如图，， ∴， ∴； 当点在上时，如图，， ∴， ∴； 当点在上时，如图，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当点在上时，如图，， 过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，当为1或3或或时，为等腰三角形． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用各个知识点． 题型十 相似三角形的判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 【例10】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，交于点F，过点F作交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，根据角平分线的定义得到，证明，，根据相似三角形的判定即可得结论； （2）由相似三角形的性质得到，利用平角定义可得，进而可证明，利用相似三角形的性质可求解． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，又， ∴． 【变式10-2】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【完整解答】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 【考点评析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型十一 相似三角形实际应用 【例11】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明， ， 从而得到，， 两式相加并变形可得， 把，，代入计算即可． 【完整解答】解：，， ， ， ， ，， ， 即， ， ，， ，解得． 故答案为： ． 【变式11-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】(1)旗杆的高度为6米； (2)小水坑F到小明的距离的长为米． 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆的高度为6米； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 【变式11-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【完整解答】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 题型十二 相似三角形的综合问题 【例12】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【思路引导】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【完整解答】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 【变式12-1】（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【思路引导】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【完整解答】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【考点评析】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【变式12-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【完整解答】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 题型十三 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例13】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和是关于点为位似中心的位似图形 【思路引导】本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案． 【完整解答】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示， （3）解：和是关于点为位似中心的位似图形． 【变式13-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． (1)在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． (2)在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． (3)在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了格点图中画相似三角形，位似三角形，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据相似比取、的中点即可． （2）连接，分别取、、的中点、、，连接，即可． （3）取格点，满足；取格点，满足，，连接，与的交点即为，连接，即为所求． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 作法：取格点，满足；取格点，满足，， 连接，与的交点即为，连接，即为所求． 理由：， ， ， ． 【变式13-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 题型十四 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例14】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【思路引导】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连结，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连结，，即可． 【完整解答】（1）如图，点P就是位似中心； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）解：如图，就是所求作的三角形． 【变式14-1】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)已知的面积为m，则的面积是______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【思路引导】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接并延长至，使得，顺次连接，则即为所求； （2）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，为所作； ； （2）解：∵和关于原点位似，的面积为m，将放大为原来的2倍后的位似图形为； ∴， 则的面积是． 【变式14-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键． 先根据位似图形对应点的坐标确定相似比，再依据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【完整解答】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 题型十五 坐标与图形综合 【例15】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知等腰中，，，与轴交于点，， (1)求点B的坐标 (2)求的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】此题考查了等腰直角三角形的判定，相似三角形的性质，三角形的面积的计算方法，用分类讨论和方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出，得出，进而求出，即可判断出，即可得出结论； （2）先求出，再判断出，再求出，最后利用的面积公式建立方程求解即可得出结论； （3）分和两种情况分类讨论，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立方程求解即可得出结论． 【完整解答】（1）解：如图1， 过点作轴于， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，由（1）知， ， ， ，， ， 过点作轴于，过点作轴于， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ， 设， ， ， ， 在中， ， ， ； （3）解：由（2）知，，，，， 由（1）知，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， ， ， ， ， ， ②当时， ， ， ， ， ， 即：满足条件的点的坐标为或． 【变式15-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是等边三角形性质、勾股定理及坐标与图形，先求出等边三角形边长，以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，求出，，进而求出结论． 【完整解答】解：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H， ， ， 设， ， ， ∴， ， 解得：， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． (1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ； (2)如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【答案】(1)， (2)①；②，或， 【思路引导】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解； （2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可． 【完整解答】（1）解：∵点是点的“k值关联点”， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵点是点的“k值关联点”， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即； ②由①可得， ∵， ∴点在直线上， 如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧）， ∵， ∴，此时满足条件， 由可得，， 解得：（此时、不在的同侧，舍去）或， ∴； 如图，当点在点下方时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，，或，． 【考点评析】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22九年级上·河南驻马店·期中）把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【完整解答】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【思路引导】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【完整解答】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【完整解答】解：在中，，，， 在A、C、D选项中的三角形都没有，而在B选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以B选项中的三角形与相似． 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键．由，证明得 ，则， ，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的值是， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【完整解答】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【完整解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 7．（22-23九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【思路引导】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【完整解答】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【完整解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【思路引导】此题考查了中心旋转的作图和位似的作图，熟练掌握作图方法找到对应点是解题的关键． （1）作出点绕点逆时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，找到点的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可． 【完整解答】（1）即为所求； （2）即为所求， 点的坐标为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【完整解答】解：， ， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 2．（22-23九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【思路引导】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，再根据题意得，，，，可得，，即可证得；即可求解． 【完整解答】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【完整解答】解：连接， 根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（舍负）， 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在方格纸上有和，则与的面积比为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查相似三角形的面积比，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比（或边长比）的平方是解题关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于边长比的平方可以得解． 【完整解答】解：由图可知：， ， 故答案为：4． 5．（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【完整解答】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 7．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，，，，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【完整解答】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； (2)在图②中的边上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 9．（22-23九年级上·全国·期中）根据所给的图形解答下列问题： (1)如图1，中，于D，把绕点A旋转，并拼接成一个与面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； (2)如图2，中，，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形； (3)设计一种方法把图3中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形的面积的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)画图见解析，证明见解析 【思路引导】题目主要考查作图，正方形及矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质作图即可； （2）利用全等三角形的判定和性质及正方形的性质求解即可； （3）设，①以点B为圆心，以为半径画弧，交于H；②过C点作交的延长线于E，过点C作于点G；③过E点作于E，交的延长线于F，则正方形为所求．根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质证明即可 【完整解答】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图2，M、N分别是的中点，四边形即为所求； （3）如图3，设 ①以点B为圆心，以为半径画弧，交于H； ②过C点作交的延长线于E，过点C作于点G； ③过E点作于E，交的延长线于F，则正方形为所求． 证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴ ∴四边形是正方形． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形为所求． 10．（22-23九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，， ．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【思路引导】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中获取有效的信息，是解题的关键；观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值；根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【完整解答】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴,即． 综上所述，． 故选：A． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】本题利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等，即可得到，且相似比为1；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【完整解答】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，且相似比为1；故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 4．（24-25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得，易证，根据相似三角形的性质列比例式可得，进而得到，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：∵长方形的长和宽分别为5与2，正方形的边长为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】根据矩形的性质及勾股定理得，， 继而得到，，设，根据旋转的性质得，，，，，证明得，求出，在中，得，即，进而得到，可得答案． 【完整解答】解：∵在矩形中，，对角线交于点， ∴，， ∴，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上，设， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，，，， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 即线段的长为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质等知识点，证明是解题的关键． 7．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 【答案】(1)路灯的高为16米 (2)米 【思路引导】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据题意得到米，米，证明 得，进而得，进而可得答案； （2）过点O作于点H，则，证明，得，进而得，进而可求得米，（米），（米），再由勾股定理求得（米）． 【完整解答】（1）解：由题意知：米， ∵， ∴米，米， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴米， 答：路灯的高为16米； （2）解：由题意得米，米，米， 过点O作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米，（米）， ∴（米）， ∴在中，（米） 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由，得到，则可求出，然后利用勾股定理计算出CD的长． 【完整解答】（1）证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． （2）解：由（1）知， ，， ，解得或（舍去）， ， 所以的长为． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【思路引导】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【完整解答】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2)一致，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）延长交于点，由旋转可得，，，即得，，得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得，即可求解； （2）延长交于点，可证，得到，，进而根据三角形内角和定理得到，即可求证； （3）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而由得到，即得到，再根据（2）的结论即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，延长交于点， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下： 延长交于点，如图所示， ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示， 由旋转可知，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $