精品解析：四川省成都市天府第七中学2025-2026学年高一上学期第一阶段学情调查数学试卷

天府七中执信高2025级2025-2026学年度上期第一阶段 数学学情调查卷 （时间：120分钟满分：150分） 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】命题“”的否定为. 故选：C 2. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 3. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 4. 已知等边三角形的边长为1，，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 5. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【详解】由图知， . 故选：D. 6. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A. z的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【详解】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 10. 《数书九章》是南宋时期中国数学家秦九韶的著作．秦九韶在《数书九章》的卷五提出了已知三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，该公式与古希腊的海伦公式完全等价．设三条边长分别为a，b，c，则面积，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题，其中正确的是（ ） A. B. 周长为 C. 外接圆直径为 D. 中线CD的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理得，设，由求得，，即可求解周长判断B，利用余弦定理的求得判断A，根据正弦定理求解外接圆直径判断C，根据余弦定理求中线CD的长判断D. 【详解】因为，则， 设，因为，所以， 即，解得，所以， 所以，所以周长为，故B正确． ，所以，故A错误． 外接圆直径为，故C正确． 因为，所以， 所以中线CD的长为，故D正确． 故选：BCD． 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取平面向量的基底，利用共线向量定理的推论判断A；利用数量积的运算律计算判断BD；求出投影向量判断C. 【详解】在菱形中，，， 对于A，由，得，解得， 则， 而点M在线段上，于是，解得，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，向量在方向上的投影向量 为，C错误； 对于D，由点N为线段上，设， ， ， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的解集后可得到函数的定义域 【详解】由题可得，所以， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，由辅助角公式结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为h，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 又， ， 令，则，则， ∴当时，取得最大值，此时，. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合，结合集合运算法则求结论； （2）根据集合的包含关系列不等式可求的范围. 【小问1详解】 化简，． 所以或． 当时，． 所以． 【小问2详解】 因为． 又等价于． 所以， 解得的取值范围是． 16. （1）已知平面向量，向量，且，若向量与平行，求的值； （2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示先确定，再根据向量平行的坐标表示求的值； （2）将代入方程，根据复数相等求得的值. 【详解】（1），因为， 则，解得，则 则， 又因为向量与平行，所以， 解得； （2）因为关于的一元二次方程的一个根是， 则，即， 所以，解得， 所以. 17. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合余弦定理进行化简，进而求出. （2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的最大值。 【小问1详解】 因为 所以 所以由正弦定理得： 所以 又因为， 又因为所以，所以 又因为，所以,即 【小问2详解】 由正弦定理得, 所以， 所以 又， 得 因为为锐角三角形，即 所以，， 即，， 则，所以的周长的最大值为9 18. 在中，角的对边分别为，，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理与两角和的正弦公式可得，从而知角的大小； （2）先利用余弦定理推出，再结合，并利用三角形的面积公式，求解即可； （3）由题知，将其两边平方化简可得，再利用正弦定理化边为角，并结合三角恒等变换公式，推出，然后根据角的取值范围和正弦函数的性质，求解即可． 【小问1详解】 由 ， 由正弦定理知， ， 所以，即， 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，且，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以 ， 因为为角的角平分线， 所以 ， 又， 所以， 即， 所以， 所以 ． 【小问3详解】 因为是边上靠近点的一个三等分点， 所以，所以， 又，， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即实数的取值范围为． 19. 在中，内角所对的边分别为. （1）若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. （2）若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）①2② （2） 【解析】 【分析】（1）①由三角形面积公式、数量积的定义列式，两式相比即可求解；②由余弦定理、基本不等式可得，再结合乘1法即可求解最小值； （2）由正弦定理、余弦定理以及基本不等式可得，故只需求得的最小值即可. 【小问1详解】 ①若的面积为1，则，若，则， 两式相比，可得； ②,由余弦定理： , 所以 ， 等号成立当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由题意恒成立， 只需，所以， 由余弦定理，由正弦定理， ， 在锐角中，，令， 则表示四分之一单位圆上的动点与定点连线斜率， 如图所示， 由图可知，当与圆弧相切时，最小，此时， 而， 所以， 所以， 解得，而，所以， 所以， 所以式子，所以，等号成立当且仅当且， 所以存在满足题意，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天府七中执信高2025级2025-2026学年度上期第一阶段 数学学情调查卷 （时间：120分钟满分：150分） 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 3. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边三角形的边长为1，，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 7. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A. z的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 《数书九章》是南宋时期中国数学家秦九韶的著作．秦九韶在《数书九章》的卷五提出了已知三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，该公式与古希腊的海伦公式完全等价．设三条边长分别为a，b，c，则面积，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题，其中正确的是（ ） A. B. 周长为 C. 外接圆直径为 D. 中线CD的长为 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 函数的定义域为___________． 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. （1）已知平面向量，向量，且，若向量与平行，求的值； （2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值． 17. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，求的周长的最大值． 18. 在中，角的对边分别为，，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 在中，内角所对的边分别为. （1）若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. （2）若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $