专题1 菱形和矩形的性质与判定2025-2026学年北师大版九年级数学上册期中考试专题复习

专题1 菱形和矩形的性质与判定 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在菱形ABCD中，若，则的度数为    A. B. C. D. 2.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的周长为    A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 3.如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线.若，，则菱形ABCD的面积为    A. 6 B. 8 C. 16 D. 4.将两个矩形按如图所示的方式放置，若，则的度数是    A. B. C. D. 5.如图，要判定▱是矩形，可以添加的条件是    A. B. C. D. 6.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了下列检测.检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是(    ) A. 甲量得窗框的两组对边分别相等 B. 乙量得窗框的对角线相等 C. 丙量得窗框的一组邻边相等 D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD是正方形，这个条件可以是    A. B. C. D. 8.关于矩形的性质，下列说法不正确的是(    ) A. 四个角都是直角 B. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 9.如图，在中，，，点D为边AC的中点，，则BC的长为    A. B. C. 2 D. 4 10.如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，，，连接若，，则OE的长为    A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从以下三个条件中，选择一个作为补充条件，使四边形ABCD成为菱形，则应选择          填序号 ①；②；③ 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若，则AC的长为          . 13.如图，点O是矩形ABCD的一条对角线AC的中点，交AD于点若，，则OB的长为          . 14.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，当AC与BD满足条件          时，四边形EFGH为矩形. 15.如图，在菱形ABCD中，若，，则菱形ABCD的面积为          . 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于原点若点，则点C的坐标为          . 17.如图，四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线，，则四边形EFGH的周长是          . 18.如图，在矩形ABCD中，，点E在边BC上，将沿直线AE折叠，使点B恰好落在对角线AC上的点F处，若，则AC的长为          . 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 如图，在▱中，对角线AC的垂直平分线分别交BC，AC，AD于点E，O，F，连接AE，求证：四边形AECF是菱形. 20.本小题8分 如图，在中，CE，CF分别为及其外角的平分线，且，求证：四边形AECF是矩形. 21.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，，，AC平分，连接BD，交AC于点O，过点C作，交AB的延长线于点 求证：四边形ABCD为菱形； 若，，求CE的长. 22.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接 求证：四边形ABCD是菱形； 若，，求OE的长． 23.本小题8分 在矩形ABCD中，，，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中 若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形、F相遇时除外； 在条件下，若以E、G、F、H为顶点组成的四边形为矩形，求t的值； 若G，H分别是折线，上的动点，与E，F相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 24.本小题8分 综合探究 【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，若或，则我们把这种四边形称为“对补四边形”.某学习小组根据研究矩形、菱形和正方形的经验，进行了如下探究. 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究. 如图①，四边形ABCD是“对补四边形”，若，则度数为          . 【观察猜想】 该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想. 猜想1：如图②，四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分，则CD和CB的数量关系是______； 猜想2：如图③，四边形ABCD是“对补四边形”，若，则对角线AC平分______. 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】略 2.【答案】C  【解析】略 3.【答案】A  【解析】略 4.【答案】B  【解析】略 5.【答案】A  【解析】略 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查矩形的判定定理；即有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形.据此即可解题. 【解答】 解：两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误； B.对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误； C.邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误； D.根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，可判断出是矩形，故D正确. 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】根据正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：四边形ABCD是菱形，， 四边形ABCD是正方形， 故选： 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：矩形的四个角都是直角， 正确； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 正确； 矩形的对角线互相平分且相等， 不正确、D正确； 故选： 根据矩形的性质得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结果． 本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【解答】 解：，点D为边AC的中点， ， ， 是等边三角形， ， 故选 10.【答案】C  【解析】略 11.【答案】①  【解析】略 12.【答案】12  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】24  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】42  【解析】四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，，FG，GH，HE分别为，，，的中位线， ，，，， 四边形EFGH的周长为 18.【答案】6  【解析】略 19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， 是线段AC的垂直平分线，， 在和中， ≌ 四边形AECF是平行四边形. 又，四边形AECF是菱形.   【解析】略 20.【答案】证明：平分，CF平分，且， ，即 又，， 四边形AECF是矩形.   【解析】略 21.【答案】【小题1】 证明：  ，  ，   ，四边形 ABCD 是平行四边形.  AC 平分  ，   .   .   . 四边形 ABCD 是菱形. 【小题2】 解：四边形 ABCD 是菱形，   ，  ，  . 在  中，  .   ，   ，即  .   .   【解析】  略   略 22.【答案】解：证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ▱ABCD是菱形； 四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ，   【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； 先判断出，再求出，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键． 23.【答案】解：四边形ABCD是矩形， ，，，， ，， ，H分别是AB，DC中点， ，， ， ， ， 在与中， ，，， ≌， ， 同理可证， 四边形EGFH是平行四边形； 如图，连接GH， 由得，，， 四边形BCHG是矩形， ， ①当EGFH是矩形时， ， ， ， ， ②当FGEH是矩形时， ，， ， ， 综上，当或时，以E、G、F、H为顶点组成的四边形为矩形； 如图，连接AG，CH， 四边形EGFH为菱形， ，，， ，， 四边形AGCH为菱形， ， 设，则： ， 由勾股定理可得： ，即： ， 解得：， ， ， 当时，四边形EGFH为菱形．  【解析】利用三角形全等可得，，即可证明； 分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用即可求解； 根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形EGFH为菱形，再利用勾股定理即可求解． 本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 24.【答案】【小题1】 【小题2】   选择猜想1，证明如下： 如答图，过点C分别作于点E，，交AB的延长线于点 平分， 四边形ABCD是“对补四边形”， 又， 在和中， ≌ 或选择猜想2，证明如下： 如答图，过点A分别作于点E，，交CD的延长线于点 四边形ABCD是“对补四边形”， 又， 在和中， ≌ 又，，平分   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $