2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册期中考试复习题（1）

北师大版九年级数学 期中复习考试复习题（1） （范围：第1-3章） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．2025年3月12日是我国的第47个植树节，为激发学生爱林、造林的热情，学校开展了一系列“绿化有我”活动．九年级二班为响应学校号召，计划从“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”四种树苗中随机选取两种进行种植，则恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中不正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．四边相等的四边形是菱形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．正方形是特殊的矩形 3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOD＝60°，则∠OAB度数为（　　） A．30° B．60° C．45° D．无法确定 5．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若AB＝5，OH＝3，则△BDC的面积等于（　　） A．24 B．18 C．14 D．12 7．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2 8．已知一元二次方程x2+2bx+c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，则一元二次方程2x2﹣cx+2b＝0的根为（　　） A． B． C． D． 9．对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC和CD上的动点（不含端点），∠EAF＝45°，下列四个结论： ①∠AEF+∠EFC＝90°； ②若∠BAE＝22.5°时，则； ③若AB＝1时，则△EFC的周长为2； ④若DF＝2，BE＝3，则△ABE的面积为9． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值为 　 　 ． 12．如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 　 　 ． 13．如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形ABCD的周长为 　 　 cm． 14．若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0． 17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝10，AO＝8，BO＝6，求证▱ABCD是菱形． 18．我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个．该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 　 　 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 　 　 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 　 　 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 19．如图，已知矩形ABCD，点O在边AD上，满足∠AOB＝∠DOC．求证：点O是AD的中点． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值． 21．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，在AE上截取AM＝BE，延长AD到F，使AF＝AE，连结MF、EF． （1）求证：△ABE≌△FMA； （2）若AB＝4，BE＝3，求EF的长． 22．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m． （1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽． （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 24．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根分别是x1，x2（x1＜x2），若x1，x2为整数，则称（x1，x2）为“Deep”点． （1）x2+5x+4＝0　 　 （填是或否）存在“Deep”点； （2）若关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0的“Deep”点为（2，3），求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0是否存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 25．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°． （1）如图1，若点E和F分别在BC和CD边上，且∠EAF＝60°，求证BE＝CF． （2）如图2，若AB＝4，点F在直线CD上，且CF＝BE＝1，请直接写出AF的长． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B D A D A C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．1． 12．． 13．16． 14．． 15．1.2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4； （2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0， （x﹣3）（2x﹣1）＝0， x﹣3＝0或2x﹣1＝0， x1＝3，x2． 17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵62+82＝102， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形． 18．解：（1）本次被调查的学生有70÷35%＝200（人）． 扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为72°． 故答案为：200；72°． （2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为200﹣40﹣70﹣30＝60（人）． 补全条形统计图如图所示． 2000600（人）． ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生约有600人． 故答案为：600． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共2种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 19．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°， 在△AOB与△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS） ∴OA＝OD， 即点O是AD的中点． 20．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤2； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1， ∵x1+x2﹣x1x2＜4， ∴2﹣（k﹣1）＜4， 解得k＞﹣1， 而k≤2， ∴﹣1＜k≤2， ∴k的整数值为0、1、2． 21．解：（1）∵ABCD为正方形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°． ∴∠AEB＝∠EAF， 在△ABE和△FMA中， ， ∴△ABE≌△FMA（SAS）． （2）在Rt△ABE中，AE， ∵△ABE≌△FMA， ∴AM＝BE＝3，FM＝AB＝4，∠AMF＝∠ABC＝90°， ∴ME＝AE﹣AM＝5﹣3＝2． 在Rt△EFM中， EF． 22．解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 23．（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB， ∴平行四边形OEFG为矩形． （2）解：由条件可知：AE， ∵∠EFA＝90°，EF＝4， ∴在Rt△AEF中，AF3． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝10， ∴OEAB＝5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG＝OE＝5， ∴BG＝10﹣3﹣5＝2． 故答案为：OE＝5，BG＝2． 24．存解：（1）由x2+5x+4＝0，得（x+4）（x+1）＝0， ∴x+4＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝﹣1， ∵﹣4，﹣1为整数， ∴（﹣4，﹣1）是“Deep”点， 故答案为：是； （2）由条件可知2+3＝﹣b，2×3＝c， 故b＝﹣5，c＝6； （3）假设关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上， 由x2+2mx+m2+m＝0， 得Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2+m）＝﹣4m≥0， 故m≤0， 由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，， ∴x2＝﹣2m﹣x1， ∵“Deep”点（x1，x2）在直线y＝﹣2x+2上， ∴x2＝﹣2x1+2， ∴﹣2x1+2＝﹣2m﹣x1， 解得x1＝2+2m，x2＝﹣2﹣4m， ∴9m2+13m+4＝0， 解得m＝﹣1或， 当m＝﹣1时，方程为x2﹣2x＝0，x1＝0，x2＝2，“Deep”点坐标为（0，2），符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，此时m＝﹣1． 25．（1）证明：连接AC，如图1， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC平分∠BCD， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60° ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，∠ACF＝∠BCA＝60° 在△ABE与△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE＝CF． （2）解：当点F在线段CD上时， 过点A作AH⊥CD于点H．连接AF，如图2， ∵菱形ABCD中AB＝4，则AD＝CD＝4， ∵CF＝BE＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°， 在Rt△ADH中，∠DAH＝90°﹣∠ADC＝30°， ∴． 由勾股定理可得，． ∴FH＝DF﹣DH＝3﹣2＝1． 在Rt△AHF中，由勾股定理． 当点F在DC的延长线上时 过点A作AH⊥CD于点H．连接AF，如图3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°， 在Rt△ADH中，∠DAH＝90°﹣∠ADC＝30°， ∴． ． ∵DF＝CD+CF＝4+1＝5， ∴FH＝DF+DH＝5﹣2＝3， 在Rt△AHF中， ． 综上，AF的长为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $