精品解析：湖北省襄阳市襄城区汉水国学实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋第一阶段九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】把原点的坐标代入函数解析式可得：解方程可得值，再由二次函数的定义可得，从而可得答案． 【详解】解： 的图象经过原点， 把代入函数解析式可得： 或 或 又由二次函数可得： 故选： 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 3. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A． 考点：旋转的特征 4. 下列命题中，正确的是（ ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 半径不是弦，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键． 7. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长． 【详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点． ∵AB=CD=8， ∴BM=DN=4， 由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3， ∵AB，CD是互相垂直的两条弦， ∴∠DPB=90° ∵，， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是正方形， ∴OP==， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 8. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（ ） A. 300（1+x）=507 B. 300（1+x）2=507 C. 300（1+x）+300（1+x）2=507 D. 300+300（1+x）+300（1+x）2=507 【答案】B 【解析】 【分析】根据年利润平均增长率，列出变化增长前后的关系方程式进行求解. 【详解】设这两年的年利润平均增长率为x，列方程为：300（1+x）2=507. 故选B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是怎么利用年利润平均增长率列式计算. 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ， ，，故④正确； ，故①错误； 抛物线与轴交于，点， ，故②正确； 方程的两个根为，，故⑤正确， 当时，，即，故③正确， 故正确的有②③④⑤，共4个． 故选：C． 10. 如图，在中，，轴，已知点C的纵坐标是6，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转可得△ABC≌△ADE，设C点坐标为（a，6），根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为（-a，-6），得DE=BC=a，所以B点坐标为（a，6-a），A点坐标为（-a，6-a），根据AD=AB列出方程即可求出a的值，进而可得结果． 【详解】解：∵△ABC绕点A旋转△ADE， ∴△ABC≌△ADE， ∴∠ABC=∠ADE=90°，AB=AD，BC=DE， ∵AB∥x轴， ∴CB∥y轴， 设C点坐标为（a，6）， ∵点C和点D关于原点成中心对称， ∴D点坐标为（-a，-6）， ∴DE=BC=a， ∴B点坐标为（a，6-a）， A点坐标为（-a，6-a）， ∴AD=AB=6-a-（-6）=a-（-a）， ∴12-a=2a， 解得a=4， ∴点A的坐标为（-4，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横、纵坐标都互为相反数”，即可解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题关键． 12. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长． 【详解】解：是的切线，切点分别为A，B， ， 又切于点E， ，， 的周长为12， ， ， ． 故答案为：6． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】解：由题意，方程是一元二次方程，所以得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即． ∴ 的取值范围是 且 ． 15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④方程必有一个根大于-1且小于0； ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2； ⑥若和是抛物线上的两点，则当时，． 其中，正确的是______（填序号）． 【答案】①③④⑤⑥ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，对称轴判断①，对称轴结合特殊点判断②，最值判断③，抛物线与轴的交点判断④，图象法判断⑤，增减性判断⑥． 【详解】解：∵对称轴为直线． ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， 即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数，即；故③正确； ∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间，故④正确； ∵当时，有最大值为， ∴直线在直线的下方， ∴抛物线与直线有2个交点，且关于对称轴对称， ∴方程，即方程有两个不相等的实数根，且两根的和为； 故⑤正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵和到对称轴的距离为，且， ∴，故⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）先求出，，再把展开代入求值即可； （2）把变形为，再代入求值即可； （3）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． 17. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 18. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． A (－2，3)， B(－1，1)， C(0，2) （1）将ABC向右平移2个单位，作出平移后的A1B1C1； （2）作出A1B1C1关于点C1成中心对称的图形A2B2C2； （3）连接A2B1，则A2B2B1的面积为_________． 【答案】（1）如图所示：△，即为所求； ； （2）如图所示：△，即为所求；；（3）3． 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移2个单位得到对应点A1、B1、C1，再顺次连接可得； （2）作出点A1、B1关于点C1的对称点A2、B2，再顺次连接A2、B2，C1可得； （3）根据点的坐标由三角形面积公式即可求出面积． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可知，， ∴， 故填：3． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换和坐标系中三角形面积求法，熟练相关性质、利用数形结合得出图形是解题关键． 19. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【答案】（1）10%；（2）26620个 【解析】 【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解． （2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案． 【详解】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得： 20000（1＋x）2＝24200， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去）， ∴x＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%； （2）依据题意可得： 24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个）， 答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个． 【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，对称轴为直线，点到对称轴的距离为2． （1）求，两点及顶点的坐标； （2）若抛物线与直线始终有两个交点，求的取值范围； （3）求一元二次方程的解． 【答案】（1）抛物线的解析式为；顶点坐标为 （2） （3）一元二次方程解为， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据对称性求出，两点坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）求出直线与抛物线有一个交点时的值，从而可得抛物线与直线始终有两个交点时的取值范围； （3）判断方程的两根，可得的值，从而可判断一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，点到对称轴的距离为2，点A在点B的左侧， ∴， 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ， 所以，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∵直线是一条平行于x轴的直线， ∴当抛物线与直线始终有两个交点时，说明直线在抛物线顶点下方， 所以； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴方程的两根为或， ∴一元二次方程满足或， 所以，一元二次方程解为，． 21. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由； （3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长 【答案】（1） （2）， 理由如下，如图所示： 在中，， ， ， ，即， 又， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，可得，即可求旋转角的度数； （2）由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求，即可得； （3）由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 又， ， ， 故旋转角的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由旋转图形的性质可知，，旋转角， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． 22. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 23. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 （2）每件恤衫的销售价应该定为元 （3） 解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； 【小问2详解】 解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； 【小问3详解】 略 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，，使是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式； （3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标． 【小问1详解】 解：对直线，当时，，时，， ，． 【小问2详解】 解：设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． 【小问3详解】 解：二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋第一阶段九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 无法确定 3. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的是（ ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（ ） A. 300（1+x）=507 B. 300（1+x）2=507 C. 300（1+x）+300（1+x）2=507 D. 300+300（1+x）+300（1+x）2=507 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在中，，轴，已知点C的纵坐标是6，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 12. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④方程必有一个根大于-1且小于0； ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2； ⑥若和是抛物线上的两点，则当时，． 其中，正确的是______（填序号）． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 17. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 18. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． A (－2，3)， B(－1，1)， C(0，2) （1）将ABC向右平移2个单位，作出平移后的A1B1C1； （2）作出A1B1C1关于点C1成中心对称的图形A2B2C2； （3）连接A2B1，则A2B2B1的面积为_________． 19. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，对称轴为直线，点到对称轴的距离为2． （1）求，两点及顶点的坐标； （2）若抛物线与直线始终有两个交点，求的取值范围； （3）求一元二次方程的解． 21. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由； （3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长 22. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 23. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $