第二章一元二次方程同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 同步练习 一、单选题 1．下列选项中，一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是（    ） A．4 B．1 C．4或1 D．或1 3．某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （    ） A． B． C． D． 4．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为1，其一次项系数为（   ） A．3 B． C． D．7 6．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．锦绣家园小区在一块长方形空地上建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是宽度相同的通道，要使停车位占地面积为880m2，则通道宽应为多少米？（   ） A．6 B．37 C．6和37 D．6或37 9．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是（　　） A．秒钟或秒钟 B．秒钟 C．秒钟或秒钟 D．秒种或秒钟 10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．方程的根为 ． 12．已知，是关于的方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 13．某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 支． 14．某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为 （化为一般形式）． 15．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 17．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 18．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． (1)方程是“差积方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 19．如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． (1)若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； (2)某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 20．请阅读以下材料，解决问题． 我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： (1)填空：① ； ② ； (2)若是的共轭复数，则 ； (3)已知，求的值； (4)结合上述材料解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次方程 同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D C D C A B D 1．C 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程．逐一判断各选项是否符合即可解答． 【详解】解：A、它不是整式方程，故不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，故不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； D、当时，它不是二次方程，故不一定是一元二次方程． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．由题意可得，，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为， 由题意可得，， 故选：． 4．D 【分析】根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式化简，关键是通过展开和移项得到标准形式． 将方程化简为一般形式后，直接读取一次项系数． 【详解】解：∵ ， 展开左边：， 移项得：， 合并同类项：， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，注意二次项系数不为零和判别式的非负性． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，且有实数根需满足判别式大于等于零． 【详解】解：∵方程 有实数根，且为一元二次方程， ∴ 且判别式 ， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ 且， 故选C 8．A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设通道宽应为米，由题意，得：， 解得或（不符合题意，舍去）； 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、动点几何，设秒时，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，再根据点运动的时间，把不符合题意的解舍去． 【详解】解：设秒时，的面积为， 则有，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 当秒时，的面积为， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 11．， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 先将方程因式分解，再根据零乘积性质求解即可． 【详解】解：对方程进行因式分解，提取公因式，得， 由零乘积性质，得或， 故方程的根为，． 故答案为：，． 12．2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，根与系数的关系，可得，，再把原式变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，是关于的方程的两个实数根， ∴ ，， ∴， ∴ ． 故答案为：2025 13．10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 14． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 15．①②③④ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 16．(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 17．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的关系式，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴当，即时，W取得最大值． 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元． 18．(1)不是，见解析 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”． （2）解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 19．(1)长为，宽为 (2)元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）设的长为 ，则，根据围成鸡场的面积为，建立一元二次方程，解方程，并根据题意取舍的值，即可求解； （2）设售价降低元，则售价定为元，根据天销售鸡的利润达到元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为 ，则， 得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 所以，鸡场的长为，宽为； （2）解：设售价降低元，则售价定为元， 得． 解得．此时． 所以，每只鸡的售价应定为元． 20．(1)①；② (2) (3) (4)， 【分析】本题考查整式运算的应用、解一元二次方程，正确理解所给的复数是解题的关键． （1）仿照给出的示例，参照整式的运算法则，即可得到结果； （2）参照整式的运算法则计算，根据共轭复数的定义，求出，的值，代入到中得到结果即可； （3）参照整式的运算法则计算，求出、的值，再根据，得到，进而得到，从而得到结果； （4）计算判别式，由于判别式，所以方程的根为复数，根据一元二次方程的求根公式得到，根据材料可以写成，即，代入求根公式进行计算得到方程的解即可． 【详解】（1）① 故答案为：； ② 故答案为：； （2）解：是的共轭复数， ， 故答案为：； （3）解： ， 中包含的个数为： 答：的值为 （4）解：方程的判别式为：， 由于判别式，方程的根为复数， 根据一元二次方程的求根公式得： ， 可以写成，即， 因此，的根为： ， 即，． 答：的解为：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $