精品解析：河南省周口市项城市王明口三中2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

河南省周口市项城市项城市王明口三中2025-2026学年九年级上学期10月期中数学 一．选择题（共10小题 共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 6. 已知，，是抛物线y＝3x2+12x+m上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题 15分） 11. 已知方程是关于x的一元二次方程，则a＝___． 12. 若，则__________． 13. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 14. 某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为__________． 15. 如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件____，使四边形为菱形． 三．解答题（共8小题 75分） 16. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 17. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）若想每天出售50件，应降价多少元？ （2）如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价﹣进货价总价） 18. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 19. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　； （Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为 　 　； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 　 　； （Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　． 20. 如图1是某条公路一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 55 6.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； （2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． （3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 21. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 22. 如图，在边长为1正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称； （2）画出绕点A逆时针旋转的图形； （3）若是由绕点M旋转得到的（点，的对应点分别是点A，），则点M的坐标为 ． 23. 如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF． （1）求∠CFA度数； （2）求证：AD∥BC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省周口市项城市项城市王明口三中2025-2026学年九年级上学期10月期中数学 一．选择题（共10小题 共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义得到，由根的判别式得到△，由此求得的值． 【详解】解：当时，此方程是一元二次方程， 方程有实数根， △，即△，解得． 综上所述，的取值范围是且 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误，D选项正确， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 6. 已知，，是抛物线y＝3x2+12x+m上的点，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向和对称轴，根据，，与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质． 7. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积， 先连接，可得封闭图形的面积等于三角形的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接，由曲线和曲线关于点D成中心对称，曲线和曲线关于点E成中心对称，曲线和曲线关于点O成中心对称， ∴经过点D，O，E，且弧形的面积相等， ∴封闭图形的面积等于. 故选：B. 二．填空题（共5小题 15分） 11. 已知方程是关于x的一元二次方程，则a＝___． 【答案】 【解析】 【分析】形如，含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义列不等式或方程，从而可得答案. 【详解】解： 方程是关于x的一元二次方程， 由①得： 由②得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“根据一元二次方程的定义列方程或不等式”是解题的关键. 12. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 13. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 【答案】y=10（x+1）2 【解析】 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案为y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 14. 某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式． 这批货物的总利润等于每件货物的利润销售量，将已知销售量与每件利润的函数关系代入即可求解． 【详解】解：由题意得， 总利润； 故答案为：． 15. 如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件____，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据中心对称证明四边形是平行四边形，再根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】∵与关于公共顶点O成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时，四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了菱形判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题 75分） 16. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 17. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）若想每天出售50件，应降价多少元？ （2）如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价﹣进货价总价） 【答案】（1）5；（2）30 【解析】 【详解】解：（1）（50﹣40）÷2=10÷2=5（元）． 答：应降价5元； （2）设每件商品降价x元．根据题意得： （110﹣x﹣50）×（40+2x）=40×（110﹣50）+600 解得：x1=10，x2=30． ∵使库存尽快地减少， ∴x=30． 答：每件应降价30元． 18. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800；600+200x；（2）每个台灯的售价为37元；（3）月获利不能达到9600元，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式△＜0，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【详解】解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯； （2）设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400， 解得：x1=36，x2=37， 当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去）， 当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意）， 答：每个台灯的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元， 理由：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600， 整理得：x2-73x+1338=0， ∵△=b2-4ac=-23＜0， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 19. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　； （Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为 　 　； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 　 　； （Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　． 【答案】（Ⅰ）y＝（x﹣2）2﹣1；（Ⅱ）（1，0）或（3，0）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ）；（Ⅴ）﹣1＜y＜3 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用配方法化简即可； （Ⅱ）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案； （Ⅲ）用“五点法”取值描点连线即可求解； （Ⅳ）、（Ⅴ）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1； 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1； （Ⅱ）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知， 该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）； （Ⅲ）当x＝0时，y＝3； 当x＝1时，y＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣1； 当x＝3时，y＝0； 当x＝4时，y＝3， 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （Ⅳ）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足时，y＜0． 故答案是：； （Ⅴ）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3． 故答案是：﹣1＜y＜3． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 20. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 40 5.5 6.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； （2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． （3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】（1）6，． （2）见解析 （3）隧道需标注的限高应为4.5米 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答． 【小问1详解】 解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6， 设 ∵D的坐标为 ∴，解得 ∴． 故答案为：6，． 【小问2详解】 解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： 【小问3详解】 解：令，可得 隧道需标注的限高应为（米）． 答：隧道需标注的限高应为4.5米． 【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键． 21. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称； （2）画出绕点A逆时针旋转的图形； （3）若是由绕点M旋转得到的（点，的对应点分别是点A，），则点M的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是： （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，点即为所求，． 故答案为：． 23. 如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF． （1）求∠CFA度数； （2）求证：AD∥BC． 【答案】（1）75°（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CF＝BC，∠BCF＝90°，由等腰三角形的性质可求解； （2）由“SAS”可证△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可证AD∥BC． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝60°，BC＝AC ∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC ∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE ∴CF＝AC ∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60° ∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30° ∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75° （2）∵△ABC和△EFC是等边三角形 ∴∠ACB＝60°，∠E＝60° ∵CD平分∠ACE ∴∠ACD＝∠ECD ∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE， ∴△ECD≌△ACD（SAS） ∴∠DAC＝∠E＝60° ∴∠DAC＝∠ACB ∴AD∥BC 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $