3.3.1探索与表达规律第1课时 课件 2025-2026学年 北师大版(2024）七年级数学上册

3.3 探索与表达规律（第1课时） 主讲： 第三章 整式及其加减 北师大版（2024）七年级上册 1. 经历由特殊到一般和一般到特殊的问题解决过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数的推理能力.（重点） 2. 能用代数式表示规律，并借助运算解释一些现象、论证一些规律或关系的正确性.（难点） 3.能用代数式设计一些蕴含规律的问题或者游戏 . 学习目标 1.去括号法则： 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号__________； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号__________． 都不改变 都要改变 2. 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先________，再__________． 去括号 合并同类项 复习回顾 观察图中所示的日历图，你能发现日历图中的数有什么规律吗? 、 情境引入 (1)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 解：(1)图中蓝色方框中九个数之和==90=9×10. 套色方框中的9个数之和是该方框正中间数的9倍. 、 情境引入 (2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗? 用代数式表示: 设正中间数为a，请用a表示出其他数. a a-1 a+1 a-7 a+7 a-8 a-6 a+6 a+8 则9个数的和为： (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7) +(a+8) = ______ 9a 结论:方框中九个数之和=9×正中间的数. 、 情境引入 (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗? 为什么? 都成立. 其他月份的日历仍然可以用以上方法表示出：方框中九个数之和=9×正中间的数. (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示. 套色方框中第一行和第三行的6个数之和是第二行3个数和的2倍. 、 情境引入 (1)图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? 尝试·思考 假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a，使得9a=144，所以a=16. 当9a=180，所以a=20. 在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180. 探索新知 (2)在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 解:假设这个月的第一个星期日是m号 则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+(m+7+7+7+7)=80 所以m=2， 所以这个月的第一个星期日是2号. 探索新知 思考·交流 (1)如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？它们有什么共同规律? 图中十字形框中5个数之和=70=14×5. a a-7 a+7 a-1 a+1 如图所示的十字型框，设正中间数为a: 则五个数之和=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)=5a 十字形中五数之和=5×中间数 探索新知 (2)如果改为H形框呢，你能发现哪些规律？ 图中H形框中7个数之和=63=9×7. 如图所示的H形框，设正中间数为a: 则五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a a a-8 a+8 a+6 a-6 a-1 a+1 “H”形中七数之和=7×中间数 探索新知 (3)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？与同伴进行交流. M形框、W形框 设中间的数为a，并用含a的代数式表示各个被框数，计算它们的和，进而解决问题． 日历图中数字规律的求解方法 探索新知 1．下面是某月的日历   （ （1）其中，阴影方框 中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其它这样的方框成立吗？如果用m表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的9个数之和吗？ （3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与m之间的其他关系吗？ 变式练习 . 解：（1）∵7+8+9+14+15+16+21+22+23＝135，且9×15＝135， ∴7+8+9+14+15+16+21+22+23＝9×15， ∴阴影方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍． 变式练习 （2）成立，如图中方框右边相邻的方框：10+11+12+17+18+19+24+25+26＝162，且9×18＝162， 这9个数之和是该方框正中间的数的9倍； 设这样的方框正中间的数是m， ∴这9个数分别为m﹣8、m﹣7、m﹣6、m﹣1、m、m+1、m+6、m+7、m+8， ∴m﹣8+m﹣7+m﹣6+m﹣1+m+m+1+m+6+m+7+m+8＝9m， ∴这样的方框中的9个数之和是9m． 变式练习 （3）∵m﹣8+m+m+8＝3m，m+6+m+m﹣6＝3m，m﹣1+m+m+1＝3m，m﹣7+m+m+7＝3m， ∴在（2）中的方框中，每条对角线上的3个数的和、m所在的行的3个数的和以及m所在的列的3个数的和都等于3m． 变式练习 例1 我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第n+1行中的数竟与（a+b）（n是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如图所示： 根据“贾宪三角形”请计算（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数为（　　） 典型例题 解：找规律发现（a+b）4的第三项系数为1； （a+b）5的第三项系数为5＝4+1； （a+b）6的第三项系数为15＝10+5； （a+b）7的第三项系数为35＝20+15； ∴（a+b）8第三项系数为35+35＝70． 典型例题 例2 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7． （1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 　 　； （2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． ＝64﹣1 ＝63， 典型例题 ； （1）解：设日历中所示的方框左上角数字为x，则其余三个数从小到大依次是：x+1，x+7，x+8， ∴规律用含x的式子可表示为（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7； （2）证明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8） ＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x ＝7． 典型例题 1. 按一定规律排列的单项式：2a2，4a3，6a4，8a5，10a6，…，第n个单项式是（　　） A．（n+1）an B．（n+1）an+1 C．2nan D．2nan+1 D 2.按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n个单项式是（　　） A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb B 随堂练习 3.下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律m＝（　　） A．38 B．52 C．74 D．86 D 随堂练习 4. a是不为2的有理数，我们把22−a称为a的“哈利数”．例如：3的“哈利数”是22−3=−2，﹣2的“哈利数”是22−(−2)=12，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，以此类推，则a2024＝（　　） A．3 B．﹣2 C．12 D．43 D 随堂练习 5. 如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），图②是从图①中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是 　     　．   2025 随堂练习 6.观察如图所示点阵图的规律，根据规律填一填． （1）按照规律在第四幅图中应该画 　　个圆点． （2）按照这个规律还可以知道第n个图形的点阵中，一共应画　    　个圆点． 15 （3n+3） 随堂练习 解：（1）根据题意可得， 方框放到图中的位置①时，m＝7×9﹣1×15＝48； 方框放到图中的位置②时，m＝10×12﹣4×18＝48， 证明：（2）根据日历的规律，当方框中间的数为n，可得： a＝n﹣7，b＝n﹣1，c＝n+1，d＝n+7， ∴m＝bc﹣ad＝（n﹣1）（n+1）﹣（n﹣7）（n+7）＝n2﹣1﹣n2+49＝48， 即m＝bc﹣ad为一个常数． 随堂练习 7.发现将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指向一个数字，记为a，b，c，d，则m＝bc﹣ad为一个常数． 验证（1）方框放到图中的位置 ①时，m＝　  　，放到图中的 位置②时，m＝　  　； 探究（2）设方框的每个顶点指 向一个数时，方框中间的数为n， 请论证“发现”中的结论． 随堂练习 1.日历图中的数字规律 2.数式变化中的规律 设中间的数为a,并用含a的代数式表示各个被框数,计算它们的和，进而解决问题． 首先要认真观察，从给出的有限的几个数和数式入手,观察数与数之间的规律及数式本身存在的规律,把等式横向、纵向分别进行比较,找出其中的不变部分与变化部分,数与其式子的序号之间的关系,然后找出其中的变化规律． 课堂小结 $