北京市昌平二中教育集团2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025－2026学年第一学期昌平二中教育集团期中考试试卷 初三数学 2025.10 试卷满分100分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 1. 若，则下列比例式正确的是（ ） A B. C. D. 2. 函数的最小值是（） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 5. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点、是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点的横坐标是，则点的横坐标为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，其中．结合图象给出下列结论： ①；②；③当时，随增大而增大； ④当； ⑤关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若，则_________． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 11. 如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为_____米． 12. 点，在抛物线上，则，大小关系是______． 13. 如图，，交于点E，，，，则______． 14. 已知是关于的二次函数，则值是______． 15. 中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是________里． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为________． 三、解答题（17－18、20、22、25小题，每小题5分；19题4分；21、23－24、26小题，每小题6分；27－28小题，每小题7分，共68分） 17. 如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，？ （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 20. 如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 21. 已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 22. 如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求的长度． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 24. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… （1）情况①中的依据指：_______． （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． （3）如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 25. 如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1875 3.5 6 75 8 7.875 7.5 1.875 … （1）表格中______； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 27. 已知，如图，是等边三角形． （1）如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； （2）如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 28. 记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． （1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； （2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 2025－2026学年第一学期昌平二中教育集团期中考试试卷 初三数学 2025.10 试卷满分100分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】8 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】8 【16题答案】 【答案】 三、解答题（17－18、20、22、25小题，每小题5分；19题4分；21、23－24、26小题，每小题6分；27－28小题，每小题7分，共68分） 【17题答案】 【答案】见解析 【18题答案】 【答案】（1）方程的两个根为， （2）当时， （3）当时，随的增大而减小 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【20题答案】 【答案】见解析 【21题答案】 【答案】（1）， （2）作图见详解； （3）当时，函数值的取值范围 【22题答案】 【答案】 【23题答案】 【答案】（1）二次函数解析式为：；一次函数解析式为： （2）或 【24题答案】 【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）见解析 （3） 【25题答案】 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；② 【26题答案】 【答案】（1）①；②； （2） 【27题答案】 【答案】（1）①见解析；②；③见解析 （2） 【28题答案】 【答案】（1） （2）①；②或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $