精品解析：北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024—2025学年第一学期回龙观东西学区 期中考试试卷 初三数学 本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 已知，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线图象开口向下，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m可取一切实数 3. 如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数化为顶点式，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 最高点是（2，0） C. 对称轴是直线x＝﹣2 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 8. 抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 函数的最大值是______． 10. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为______． 11. 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数图象表达式是______． 12. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 13. 如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为______． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点M，N分别是，与网格线的交点，则 _______． 15. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______． 三、解答题（本题共12道小题，第17题4分，第18-21题，每小题5分，第22-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 如图分别是的边上的点，．求证：． 18. 抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． （1）C点坐标为______，的面积为______； （2）请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 19. 已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数表达式； （2）求顶点坐标． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． （1）求的长． （2）求证：． 21. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求这个二次函数解析式： （2）若C点坐标为，抛物线上是否存在点D，使的面积为4？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标). 23. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 24. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 25. 佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t取值范围． 27. 在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． （1）如图1，当点N与点C重合时，求证：； （2）将图1中向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期回龙观东西学区 期中考试试卷 初三数学 本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 已知，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质“如果，那么”逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 2. 抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m可取一切实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟知当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口（a为抛物线二次项的系数）是解题关键． 由抛物线开口向下，可知二次项系数，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可以得到，即可求解， 本题考查了平行线截线段成比例，解题的关键是：熟练掌握平行线截线段成比例． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 4. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、相似三角形的相似比；根据相似三角形的性质及相似比的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即相似比为； 故选：A． 5. 将函数化为顶点式，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 最高点是（2，0） C. 对称轴是直线x＝﹣2 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、该二次函数开口向下，故本项说法错误； B、二次函数开口向下，在处取得最大值，所以本项正确； C、该二次函数的对称轴是，故本项说法错误； D、当时y随x的增大而减小，故本项说法错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；熟知二次函数图像的性质与表达式之间的关系式解题的关键． 8. 抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 函数的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据二次函数顶点式易知其顶点坐标为，抛物线开口向下，可知当时，函数取最大值1． 【详解】解：∵， ∴此函数图形开口向下，顶点坐标为， 即当时，函数取最大值1． 故答案为：1． 10. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案：． 11. 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数图象表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 12. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可． 【详解】解：∵当时，y随x增大而增大， ∴二次函数开口向上，对称轴可以取直线， ∴符合条件的二次函数可以为：． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点M，N分别是，与网格线的交点，则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的定义，勾股定理的应用，利用全等三角形的性质证明，，可得为的中位线，，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，标注格点， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴为的中位线， ∴， ∵； ∴， 故答案为： 15. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， ， 故答案为：且． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______． 【答案】 ①. （3，0） ②. 4 【解析】 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），C（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∵∠PCJ=45°， ∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°， ∴PJ=JC， 根据勾股定理 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴PD+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故答案为: （3，0），4． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本题共12道小题，第17题4分，第18-21题，每小题5分，第22-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 18. 抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． （1）C点坐标为______，的面积为______； （2）请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 【答案】（1），3 （2）图象见解析，不等式的解集为：或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的作图及基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）令、分别列方程，解方程即可知、、三点坐标，进而可知三角形的面积； （2）利用五点作图法画图即可，再通过函数图象即可知道不等式的解集． 【小问1详解】 解：当时，，故点坐标为， 当时，，解得或， 又∵A在B左侧， ∴，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：，3 【小问2详解】 利用五点作图法，画图如下： 由图可知，不等式解集为：或． 19. 已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 【答案】（1）． （2）顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． 【小问2详解】 将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（）根据两三角形相似，对应边成比例，得，结合已知条件，从而得到的长，再根据勾股定理即可求解； （）根据相似三角形对应角相等，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 21. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求这个二次函数的解析式： （2）若C点坐标为，抛物线上是否存在点D，使的面积为4？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）函数表达式为． （2）存在D点，使的面积为4，点的坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）将点和点代入表达式，列出b、c的方程组，解方程组，得出b、c的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入表达式，可得： ，解得， ∴函数表达式为． 【小问2详解】 设， ∵C点坐标为，， ∴， ∴的面积为：， 解得，，， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， ∴存在D点，使的面积为4，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质以及有关面积问题，熟练掌握基本知识点是解题关键． 22. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标). 【答案】（3，0）或（6，4）或（6，） 【解析】 【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，（3，0）或（6，4）或（6，） 【详解】解：过P作PC1⊥OA，垂足是C1， 则△OC1P∽△OAB． 点C1坐标是（3，0）． 过P作PC2⊥AB，垂足是C2， 则△PC2B∽△OAB． 点C2坐标是（6，4）． 过P作PC3⊥OB，垂足P（如图）， 则△C3PB∽△OAB， ∴． 易知OB＝10，BP＝5，BA＝8， ∴BC3＝，AC3＝8﹣＝． ∴C3（6，）． 符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）． 故答案是：（3，0）或（6，4）或（6，）． 【点睛】此题考查作图—相似变换、坐标与图形性质，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理. 23. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）相似，由平行线的性质得，结合可证明; （2）根据相似三角形列式求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 24. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3） （4）72米 【解析】 【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可； （2）观察图象即可； （3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式； （4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度． 【小问1详解】 坐标系及图象如图所示． 【小问2详解】 由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米． 【小问3详解】 ∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为． 把（1.0，4.2）代入，解得． ∴所画图象对应的函数表达式为． 【小问4详解】 令，解得（舍），． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为18米． 则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏． 【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键． 25. 佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 【答案】（1）0；画图见解析；（2）3；﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 【解析】 【分析】（1）求出x=﹣1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可； （2）利用图象以及表格即可解决问题； （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=0． 函数图象如图所示． （2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1． 故答案为：3；﹣2，或﹣1或1； （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围． 观察图象可知，﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7 ②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 27. 在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． （1）如图1，当点N与点C重合时，求证：； （2）将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）的最大值为，四边形的对角线交点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点坐标及画出图形，得到点，，，的位置，利用勾股定理求出，； （2）分两种情况：①当较小时，②当较小时，分别求出点，，，的坐标，利用勾股定理列式计算可得的值； （3）先确定，两直线平行，且关系直线对称，勾股定理求出，，当时，求出，当时，，且随的减小而增大；当时，；当时，，且随的减小而增大；故当时，有最大值，此时，得到，，，，求出及，得到四边形是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标． 【小问1详解】 当时， 直线，与轴交点坐标为，与轴交点，此时点与点重合， 直线中，当时，解得；当时，得， 直线与矩形的交点，， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 分两种情况： ①当较小时， 直线中，当时，；当时，， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 解得：或（舍去）； ②当较小时， 直线中时，， 直线的图象与轴交点， 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 解得：或； 当时，直线，当时，； 当时，直线，当时，，故舍去； 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 此种情况不成立， 故的值为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：与不重合，与不重合， ， 与的值相等，值互为相反数， 两直线平行，且关于直线对称， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 当时，， 解得：， 图1，当时，，且随的减小而增大； 图3，当时，， 图2，当时，，且随的减小而增大， 故当时，有最大值，此时， 此时，，，， ，，， ，， ， 四边形是平行四边形， 对角线交点的坐标为，即， 综上，的最大值为，四边形对角线交点坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，求直线解析式，直线与图形的交点，勾股定理，正确理解题意并画出图形辅助解决问题是解题的关键，此题较难． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$