河南省郑州市第十八中学2025-2026学年高二上学期数学期中模拟卷（1）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆） 第I部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 3．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 5．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a为实数，直线，，则（   ） A．恒过点 B．若，则或 C．若，则或0 D．当时，不经过第二象限 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 11．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 第II部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 13．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是 14．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 16．（15分）已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程． 17．（15分）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，.   (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19．（17分）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． (1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． (2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷（1）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B B A D BD BD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，. 故选：B. 2．C 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 3．C 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 【详解】由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 4．C 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C      5．B 【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答. 【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d， 由圆的性质得：，解得，， 所以C的长度为. 故选：B 6．B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 7．A 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上．如图：    设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则， 所以， 所以， 所以，． 又圆与圆的面积之比为9， 所以圆与圆的半径之比为3， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率． 故选：A． 8．D 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到面的距离可以由点与平面上一个点的向量在这个平面的法向量上的投影长得到，所以本题需要求出平面的其中一个法向量，平面的法向量可以通过平面内的向量和平行于平面的向量来求得. 9．BD 【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性. 【详解】将，代入的方程左边得. 当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误. 对于直线和. 因为，根据两直线平行的判定条件， 则， 整理得，解得或. 当时，，，两直线平行； 当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确. 因为，根据两直线垂直的判定条件，则， 整理得. 利用求根公式，所以C错误. 直线， 当时，，即. ，直线不经过第二象限. 当时，，，直线方程变形为， 则，，所以直线不经过第二象限，故D正确.     故选：BD 10．BD 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 12． 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 13．/ 【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为. 故答案为：. 14． 【分析】根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答. 【详解】过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，      有，过作于点C，则四边形是矩形， 于是，，又，从而， 设直线AB与平面的交点为P，则有，， 所以椭圆的长轴长. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 16．(1) (2)或． 【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可； (2) 设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程． 【详解】（1）由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径， 所以设圆C方程为 又圆C过点， 解得 圆C方程为． （2）由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即 ，设C到l的距离为d， 则， 为直角三角形，，， 或， 故直线l得方程为或． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性质定理即可得到平面； （2）方法一：根据题意，由线面角的定义，代入计算，即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面. 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2）设与平面所成角为 连接交于点，连接，    ∵，且，则为等边三角形， 又四边形为菱形，则为中点，∴ 又∵平面平面，且交线为 ∴平面 ∵，∴ ∴ ∴. 法一：常规法：作于，连接，作于， 因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面， 且平面，所以，，平面， ∴平面，因为， 则，在三角形中， 由等面积法可知，，则， 则，在三角形中，由等面积法可得， ，则， ∵到平面的距离是到平面距离的两倍，∵， 由平面，平面，所以， 则，∴，∴. 法二：建系：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，    ∴，，，，， ∴，，， 令平面的法向量为，则 ，，∴ ∴. 18．(1)证明见解析 (2) (3)存在，且. 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出平面的法向量后，借助向量的数量积为零即可得两向量垂直，即可得线面平行； （2）求出平面的法向量后，结合所得平面的法向量，利用夹角公式计算即可得； （3）假设存在，设出对应未知数，可表示出向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）过作，垂足为，则， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 为的中点，，则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， ，即， 又平面，所以平面； （2）设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； （3）存在，且，理由如下： 假设线段上存在一点，设， ， 则 又直线与平面所成角的正弦值为， 平面的一个法向量， ， 化简得，即， ，故存在，且. 19．(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【详解】（1）设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． （2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $