精品解析：云南省昆明市云南大学附属中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试卷

云大附中2026届初三年级10月月考 数学试卷 （本试卷共三大题，27小题；考试时间120分钟） 班级___________姓名___________学号___________ 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号、考场号、座位号用碳素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号颇序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，客观题修改时用橡皮擦干净，答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题 1. 云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 十四届全国人大二次会议上政府工作报告中提到，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%．下列是四款国产新能源汽车的车标，其中车标图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下面运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级市物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间．王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，以的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的代数式：，则第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 10. 已知圆锥的侧面积为6πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的母线长（ ） A. 36cm B. 18cm C. 6cm D. 3cm 11. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 12. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了名同学，结果如表： 每天使用零花钱单位：元 0 2 3 4 5 人数 1 4 5 3 2 关于这名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（　　） A. 中位数是3元 B. 众数是5元 C. 平均数是元 D. 方差是4 13. 如图，为O的直径，与O相切于点A，与O的交于点D，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 15. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B.     C.   D. E. 二、填空题 16. 因式分解：＝______________　． 17. 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下： 根据以上统计图提供的信息，则C等级这一组人数较多的班是_____． 18. 如图，点是矩形的中心，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕长度为______． 19. 若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为_____． 三、解答题 20. 计算：． 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 22. 材料一：国家卫健委颁布实施的《食品安全国家标准—预包装食品营养标签通则》中，对预包装食品营养标签做规范要求．在通则中获得以下信息： 信息1：营养成分表是营养标签的一部分，其中的是指每食品所含营养成分占营养素参考值（）的百分比． 信息2：营养素参考值（）是依据我国居民膳食营养素日推荐摄入量和适宜摄入量制定的．下表是食品标签营养素参考值（）（部分）： 营养素参考值（部分） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 材料二：已知某款新型热销饮品是由甲、乙两种原浆混合制作而成，下表是甲、乙两种原浆的营养成分表（部分）． 问题一：请结合以上材料，求出m，n的值； 问题二：在某次抽检中测得一瓶该款饮品的蛋白质含量为，蛋白质的为7%．一瓶该款饮品中甲、乙两种原浆分别是多少克？ 23. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． （1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； （2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 24. 如图，菱形的对角线，相交于点O，分别过点D，C作，的平行线交于点E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求线段的长． 25. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500t，每生产1t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1t乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品xt，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若每生产1t甲产品需要A原料0.25t，每生产1t乙产品需要A原料0.5t．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000t，其他原料充足．该工厂生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润． 26. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． （1）①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． （2）过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 27. 已知抛物线的顶点在直线上，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求此时的值； （3）设为抛物线与轴一个交点的横坐标，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中2026届初三年级10月月考 数学试卷 （本试卷共三大题，27小题；考试时间120分钟） 班级___________姓名___________学号___________ 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号、考场号、座位号用碳素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号颇序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，客观题修改时用橡皮擦干净，答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题 1. 云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，结合增产50千克记作“千克”，则减产30千克应记作“千克”，即可作答． 【详解】解：∵今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克” ∴今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作“千克”， 故选：A． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故选：C． 3. 十四届全国人大二次会议上政府工作报告中提到，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%．下列是四款国产新能源汽车的车标，其中车标图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 4. 下面运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，根据合并同类项法则判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的乘法和积的乘方判断C选项；根据单项式乘单项式判断D选项． 【详解】解：A选项，原式，故该选项不符合题意； B选项，原式，故该选项符合题意； C选项，原式，故该选项不符合题意； D选项，原式，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 根据多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可． 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， 故选：D． 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 7. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级市物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间．王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，以的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．直接利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可； 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 8. 按一定规律排列的代数式：，则第n个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知单项式的系数的绝对值是序号的平方，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连线的奇数，据此可得答案． 【详解】解：∵该列代数式为， ∴以此类推可知，第n个代数式是， 故选：D． 9. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可． 【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0， 分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 可得x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得：x＝4或x＝6， ∴菱形两对角线长为4和6， 则这个菱形的面积为×4×6＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般． 10. 已知圆锥的侧面积为6πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的母线长（ ） A. 36cm B. 18cm C. 6cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S==6π， ∴r=6cm， 故选C． 考点：圆锥的计算． 11. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作于E点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过D点作于E点，如图， ∵平分，，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 12. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了名同学，结果如表： 每天使用零花钱单位：元 0 2 3 4 5 人数 1 4 5 3 2 关于这名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（　　） A. 中位数是3元 B. 众数是5元 C. 平均数是元 D. 方差是4 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出中位数，众数，平均数，方差，再作出判断． 【详解】解：一共有人， 中位数为第8人所花钱数， 中位数为3元，故A正确； 每天使用3元零花钱的有5人，最多， 众数为3元，故B错误； 平均数为：，故C错误； 方差为：，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了求众数，求中位数，求一组数据的平均数，求方差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13. 如图，为O的直径，与O相切于点A，与O的交于点D，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，由切线性质，得，于是，．中，，.由垂径定理，，根据面积公式求解得阴影部分的面积为 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∵与O相切于点A， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 中，，. ∴. ∴. ∵ ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的性质，扇形面积的计算，解直角三角形；添加辅助线，分割不规则图形，运用组合图形求面积的思路是解题的关键． 14. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，然后求出a、b，从而得到的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 15. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B.     C.   D. E. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图， ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 二、填空题 16. 因式分解：＝______________　． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，利用提公因式和平方差公式进行因式分解是解答本题的关键． 17. 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下： 根据以上统计图提供的信息，则C等级这一组人数较多的班是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】由频数分布直方图得出甲班C等级的人数12人，再由扇形统计图信息，乙班C等级占35%，由总人数40人解得C等级的人数，再与甲班作比较即可解题． 【详解】解:由扇形统计图得：乙班C等级人数为：（人） 由频数分布直方图得：甲班C等级人数为:12人， C等级这一组人数较多的班是乙班 故答案为：乙． 【点睛】本题考查扇形统计图、频数（率）分布直方图，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，点是矩形的中心，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：是翻折而成， ，， 是矩形的中心， 是的垂直平分线，， ，， 在中，， 即， 解得， 在中，设，则， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 19. 若关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数，则正整数k的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定出k≠0，再求出x1=1，x2=-3+，再根据方程的解为整数和k为正整数，即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0有解， ∴k≠0，△＝（4k﹣1）2﹣4k（3k﹣1）＝16k2﹣8k+1﹣12k2+4k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0， ∴， ∴x1＝-1，x2＝﹣＝﹣3+， ∵关于x的一元二次方程kx2+（4k﹣1）x+3k﹣1＝0的解都是整数， ∴是整数， ∵k为正整数， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程. 三、解答题 20. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、二次根式的性质、绝对值、负整数指数幂和算术平方根分别化简，最后算加法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 22. 材料一：国家卫健委颁布实施的《食品安全国家标准—预包装食品营养标签通则》中，对预包装食品营养标签做规范要求．在通则中获得以下信息： 信息1：营养成分表是营养标签的一部分，其中的是指每食品所含营养成分占营养素参考值（）的百分比． 信息2：营养素参考值（）是依据我国居民膳食营养素日推荐摄入量和适宜摄入量制定的．下表是食品标签营养素参考值（）（部分）： 营养素参考值（部分） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 材料二：已知某款新型热销饮品是由甲、乙两种原浆混合制作而成，下表是甲、乙两种原浆的营养成分表（部分）． 问题一：请结合以上材料，求出m，n的值； 问题二：在某次抽检中测得一瓶该款饮品的蛋白质含量为，蛋白质的为7%．一瓶该款饮品中甲、乙两种原浆分别是多少克？ 【答案】问题一：，；问题二：一瓶该款饮品中甲、乙两种原浆分别是， 【解析】 【分析】问题一：根据材料2列式，即可求解， 问题二：设一瓶该款饮品是，由蛋白质的为可得分式方程，解得，设一瓶饮料中含甲原浆，则含乙原浆，根据一瓶该款饮品的蛋白质含量为列方程，即可求解， 本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意正确列方程． 【详解】解：问题一： ∵，， ∴，， 问题二：设一瓶该款饮品是，由题意可得 解得， 设一瓶饮料中含甲原浆，则含乙原浆， 解得， 则， ∴一瓶该款饮品中甲、乙两种原浆分别是，． 23. 二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． （1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； （2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 【答案】（1） （2）两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种， ∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种， ∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 24. 如图，菱形的对角线，相交于点O，分别过点D，C作，的平行线交于点E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质求出，再根据矩形的判定得出即可； （2）根据菱形的性质求出和，再根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可． 【小问1详解】 证明：过点、分别作、的平行线，相交于点， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ，， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键是能证明出四边形是矩形． 25. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500t，每生产1t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1t乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品xt，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若每生产1t甲产品需要A原料0.25t，每生产1t乙产品需要A原料0.5t．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000t，其他原料充足．该工厂生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1） （2）生产甲产品1000t，乙产品1500t，最大利润是900万元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于甲、乙产品利润之和建立函数表达式； （2）根据原料限制列出不等式确定的取值范围，再结合一次函数的增减性求最大利润． 【小问1详解】 解：已知生产甲产品吨，则生产乙产品吨 甲产品每吨利润0.3万元，乙产品每吨利润0.4万元 所以总利润 化简得． 【小问2详解】 解：根据原料限制， 解不等式： 则的范围是： 在中，，随的增大而减小 所以当时，有最大值，（万元） 此时乙产品生产． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，掌握根据实际问题建立一次函数表达式，利用一次函数的增减性结合不等式确定的取值范围求最大利润是解题的关键． 26. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． （1）①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． （2）过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）①； ②如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2） 解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【解析】 【分析】（）①由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再根据圆周角定理即可求解；②连接，由圆周角定理可得，即得，再根据等腰三角形的性质及已知可得，即得，得到，即可求证； （）将绕点逆时针旋转得到，连接，可得，，，，进而可得，即可证，得到，又可得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 已知抛物线的顶点在直线上，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求此时的值； （3）设为抛物线与轴一个交点的横坐标，求的值． 【答案】（1） （2） （3）20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求抛物线的解析式，一次函数性质，解一元二次方程，分式的化简，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意结合一次函数图象上点的坐标特征，可求得D的坐标，再由对称轴求出b的值，然后将点D的坐标代入求解即可； （2）根据抛物线的图像性质，列出方程求解判断，即可解题； （3）根据题意可得，再分别对分子、分母化简即可解题． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 即点D的坐标为：， ∵对称轴为， ∴， 解得：， ∴， 将点D代入得：， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 当时，； ∵，， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线在时，取得最小值，即， 解得：（舍去）或2， 即； 【小问3详解】 解：为抛物线与x轴一个交点的横坐标， ，即， 对于， 分子为： ； 而分母 ； ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $