1.2一定是直角三角形吗 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二节 一定是直角三角形吗 一、思维导图 二、知识梳理 1、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形. 利用勾股定理判断一个三角形是否是直角三角的一般步骤：（1）找，找三角形的两条较短边和最长边；（2）算，算两条较短边的平方和和最长边的平方；（3）判，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等，则该三角形是直角三角形，否则不是. 2、勾股数：满足a2+b2= c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数应同时具备两个条件：（1）这三个数均为正整数；（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；9,12,15；7,24,25；9,40,41… 重要结论：若a,b,c是一组勾股数，则①na,nb,nc(n为正整数）也是一组勾股数；②以勾股数为边长的三角形一定是直角三角形. 三、夯实基础 （一）选择题 1.在中，，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是  (     ) A. 是直角 B. 是直角 C. 是直角 D. 是锐角 2.下列各组数据是勾股数的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是  (     ) A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形且 C. 如果，那么是直角三角形 D. 如果，那么是直角三角形 4.若的三边长为，，，满足，则的形状是    A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形  5.适合下列条件的中，直角三角形的个数为(     ) ，，；：：：：；，；，，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.有五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(     ) A. B. C. D. （二）填空题 7.若，，是一组勾股数，则          ． 8.如图，点在正方形内，，，，则阴影部分的面积为          ． 9.如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，           10.如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，厘米，则四边形的面积为          平方厘米． （三）解答题 11.在中，是上一点，，，，，求的面积． 12.如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且． 求证：； 若，，求的长． 13.台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由向移动，为一海港，点与两点，的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． 海港受台风影响吗？为什么？ 若台风移动速度为千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 14.如图，一条南北走向的高速公路经过县城，村庄位于高速公路西侧，村庄和县城之间有一大型水库从村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路和，千米，千米，千米． 公路是否为村庄到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； 通过无人机测得，求村庄到县城的直线距离的长． 四、拓展提升 （一）选择题 1.如图是由个边长为的正方形组成的图形，则的度数为(     ) A. B. C. D. 2.若的三边，，满足，则是  (     ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3.如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则的度数为(     ) A. B. C. D. 4.关于的三个多项式，从左往右依次为：，，． 不存在自然数使得三个多项式的值恰为一组勾股数记、、均为正整数当时，的最小值为，则满足条件的、、的取值共有组；对任意相邻的两个多项式用左边的减去右边的并把所得的结果放在两者之间称之为“顺差放置”现对这三个多项式进行第一次“顺差放置”后得到的多项式为：，，，，，再对第一次“顺差放置”后的所有多项式进行第二次“顺差放置”，按此规律，第次“顺差放置”后得到的所有多项式的和是 以上说法正确的个数是(    ) A. B. C. D. （二）填空题 5.若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为           ． 6.若一个三角形的三边长之比为，且周长为，则它的面积为           ． 7.如图，中，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是          ． 8.如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，若，则           度． 9.如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么          ． 10.如图，，，边上的中线，则的面积为          ． 11.如图，在矩形中，，为边上一点，，连接点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接设点运动的时间为秒，当为       时，为直角三角形． （三）解答题 12.定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由． 已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 13.如图，在中，于点，，，，求证：是直角三角形． 如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，，，，，求四边形的面积． 14.若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”构造勾股数，就是要寻找个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和或平方差等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ； ； 要满足以上的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： 如果等式的右边也能写成“”的形式，那么它就符合的关系． 因此，只要设，，式就可化成． 于是，当，为任意正整数，且时，“，，”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． 当，时，该组勾股数是          ； 若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为，且，求，的值； 若一组勾股数中最大的数是是任意正整数，则另外两个数分别为          ，          分别用含的代数式表示 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节 一定是直角三角形吗 参考答案： 三、夯实基础 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C  D  B D B  C       11.解：在中，， 是直角三角形， ，在中   12.解：证明：如图，连接， 边上的垂直平分线为， ， ， ， ， ； 设，则， 在中，， ，解得：， 的长为．  13.(1)解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 (2)解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 14.解：公路为村庄到高速公路的最近路，理由如下： ， ， 是直角三角形，， ， 公路为村庄到高速公路的最近路； 设千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即村庄到县城的直线距离的长为千米．  四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A   C  A  A           或 12.(1)解：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+BN2＝MN2，即以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点．  (2)设BN＝x，则MN＝24-AM-BN＝18-x． ①当MN为最长线段时，依题意有MN2＝AM2+NB2，  即(18-x)2＝36+x2，解得x＝8；  ②当BN为最长线段时，依题意有BN2＝AM2+MN2；  即x2＝36+(18-x)2，解得x＝10．  综上所述，BN＝8或10．  13.(1)【证明】∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°．  在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2＝92+122＝225，  在Rt△ADC中，CD2＝AC2-AD2＝202-122＝256，∴CD＝16， ∴BC＝BD+CD＝9+16＝25， ∴BC2＝625， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形．  (2)【解】∵∠EDC＝90°，DC＝6，DE＝8， ∴CE2＝DC2+DE2＝62+82＝100， ∴CE＝10， ∴AC＝AE+CE＝2+10＝12． ∵BD＝14，CD＝6， ∴BC＝BD+CD＝20． ∵AB＝16， ∴AB2+AC2＝162+122＝202＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴． 14.(1)3，4，5  (2)解：， . ， ， 最大的数为. ①当最小时， 则， 解得或（舍去）. 又， ； ②当最小时，则，此时不为整数， 此种情况不成立. 综上所述，，.  (3) ;​​​​​​​  第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $