1.1 探索勾股定理 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一节探索勾股定理 参考答案： 三、夯实基础 题号123456789 10 11 12 13 14 15 答案 c B A BB AD C A 26 80 0.8 85 号 16.解：：∠ACB=90°· :由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=1600, :BC=40米，V=40÷2=20(米/秒)， :20米/秒=72千米/时，72>70， ·这辆小汽车超速了 17.解：设AB=x米，则AC=(&+1)米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2, x2452=(+1)2,解得x=12, :旗杆AB的高度为12米. 18.解：在Rt△BDC中，BD=4,CB=5,根据勾股定理，得CD2=BC2-BD2=9 :CD=3 设AB=AC=X,则AD=AC-CD=X-3, 由勾股定理，得AB2=BD2+AD2,即x2=16+K-3只，解得x=要， 则AB的长为要. 19.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10, BC2-AB2-AC2=36 BC=6, 连接BE DE垂直平分AB, ..AE-BE 设AE=BE=x,则CE=8-X, 在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2, 62+(8-x)2=x2, 解得x=空 AE=25. 第1页共3页 四、拓展提升 题号 12 3 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D DB A C 25或7 17 2或得 14或4 30cm l3.证明：如图，过点C作CF⊥BC,使CF=BE,连接AF,DF. :AB=AC,∠BAC=90, ·∠ABC=∠ACB=∠ACF=45°， ·△ABE≌△ACF(SAS), :BE=CF,AE=AF,∠BAE=∠CAF, ∠BAC=∠EAF=90. :∠DAE=45°， ∠DAF=45, .△DAF≌△DAF(SAS), :DE=DR在Rt△DCF中，CD+CF2=DP2, .CD2+BE2-DE2. 14.(1)4 (2):动点P从点C出发，沿CB→BA的路线运动，且速度为每秒2cm, t=0.5s时，CP=2×0.5=1cm. .BP=BC-PC=2 cm :在Rt△4CP中，由勾股定理，得AP=VAC2+PC=√42+1=V7 C.ABc=AB+AP+PB=5+V17+2=7+V17(cm) (3)①当PC=PB时，如图1，则∠PCB=∠B, :∠PCA十∠PCB=∠B+∠A=90。, ∴∠PCA=∠A, .PC-PA=PB, .BP=AB ∴.BP=2.5, 图1 2t=3+2.5, 解得t=号； ②当BP=BC=3时，如图2， 则2t=3+3,解得t=3: 图2 第2页共3页 ③当CP=CB时，如图3，作CD⊥AB于点D,则CD=号cm, 由勾股定理，得BD=VBC2-CD2-=号cm, :BP=2BD=号m, B D P 图3 2t=3+9, 解t=器 综上所述，当F号或3或时，△BCP为等腰三角形： 10 (4由题意，得t+2t=3+4+5,解得t=2, 2 即当t=2时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分. 第3页共3页 第一节 探索勾股定理 一、思维导图 二、知识梳理 1、勾股定理 (1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c和分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2+b2= c2. （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法…（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）  （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形. 归纳总结：利用勾股定理求直角三角形的边长的“三步法”： （1）分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边； （2）代：带入a2+b2=c2(c为斜边长)或其变形式a2= c2- b2，b2= c2- a2； （3）求：求出结果. 归纳总结：运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出几何图形（即数学建模）； （2）确定要求的线段所在的直角三角形，不是直角三角形或者所求线段不在直角三角形中，通过作辅助线构造直角三角形或者借助于其它数学知识把要求的线段转化到直角三角形中； （3）找准直角边和斜边，根据勾股定理确定等量关系，列出等式； （4）求得结果. 三、夯实基础 （一）选择题 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是(     ) A. B. C. D. 2.下列选项中图中三角形都是直角三角形，不能用来验证勾股定理的是(     ) A. B. C. D. 3.如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点处折断，则树顶端落在离树底部  (     ) A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的倍，那么斜边扩大到原来的(     ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5.如图，在一个高为、长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少应是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是  (     ) A. B. C. D.   7.下列说法正确的是(     ) A. 若，，是的三边，则 B. 若，，是的三边，则 C. 若，，是的三边，，则 D. 若，，是的三边，，则 8.九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵着绳索退行绳索头与地面接触，在离木柱根部尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为(     ) A. B. C. D. 9.如图，某隧道的截面是一个半径为的半圆形，一辆宽为的卡车恰好能通过该隧道，则卡车连车带货最高为(    ) A. B. C. D. （二）填空题 10.已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为，则该直角三角形的斜边长为           ． 11.如图，游泳运动员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲达到地点，结果他在水中实际游了，这条河宽为            12. 如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移          米． 13.如图，在中，，，若，，则        ． 14.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为           ． 15.如图，在矩形纸片中，已知，，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，则的长为         ． （三）解答题 16.城市交通管理条例规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过千米时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方米的处，过了秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 17.学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩米长在地面如图，小芳为了测量旗杆的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端刚好着地如图量得米，求旗杆的高度． 18.如图，在中，，于点，，，求的长． 19.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，求的长． 四、拓展提升 （一）选择题 1.如图，在中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为(     ) A. B. C. D. 2.如图，点是射线外一点，连接，若，点到的距离为，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为，当为直角三角形时，的值为  (     ) A. B. C. 或 D. 或 3.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和，若，，，则的值是    A. B. C. D. 4.如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，面积分别为，，；如图，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则  (     ) A. B. C. D. 5.如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为   杯壁厚度不计． A. B. C. D. 6.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．下列结论：≌；；.其中正确的有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （二）填空题 7.已知直角三角形的三边长分别为，，，则           ． 8.如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是           ． 9.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点若，，则          ． 10.如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动．设运动的时间为，当          时，为直角三角形． 11.在中，，，边上的高，则边的长是          ． 12.如图，透明的圆柱形玻璃容器容器厚度忽略不计的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为          ． （三）解答题 13.如图，在中，，，点，在上，求证：． 14.如图，在中，，，，动点从点出发，沿的路线运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．           ； 出发秒后，求的周长； 当为何值时，为等腰三角形？ 另有一动点，从点出发，沿向终点运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？   第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $