精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高三（重点班）上学期期中考试数学试题

数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出绝对值不等式得到集合，再根据并集定义求结论 . 【详解】由可得，则， 又，则. 故选：B. 2. “且”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次法计算得解. 【详解】由，得. 故选：C 4. 定义在上的满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为，根据周期性分析求解即可． 【详解】因为，则， 可知函数的一个周期为， 当时，， 所以． 故选：A． 5. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由三角函数平移变换知识以及诱导公式可得答案. 【详解】由题，. 故选：D 6. 函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 7. 已知，，，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，再根据向量的模长公式可得，平方可得，结合余弦函数的有界性可得到值域. 【详解】因为，，，则， 可得 ， 可得， 又因为，则， 可得， 且，可得，所以函数的值域是. 故选：A. 8. 当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】时，不等式显然成立，当时，对原不等式分离参数得到，结合导数分析出不等式右边最小值. 【详解】时，不等式显然成立； 当时，， 设，， 设，， 即在上单调递增，则，则在恒成立， 对于可知， ，，单调递减， ，，单调递增， 故，于是. 故选：A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 10. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出函数的单调增区间，然后由题意可得，且区间长度小于等于周期的一半，根据包含关系列出不等式组，解不等式组即可得出答案. 【详解】令，解得， 即函数的单调增区间为， 因为在上单调递增，所以，且区间长度小于等于周期的一半， 所以有，解得， 取，； 取，； 取，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去. 综上所述，的取值范围为. 故选：AC 11. 对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若Rt中，，则 D. 若中，，则是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义运算，求出向量的模，向量的夹角，针对各个选项分别求解即可. 【详解】对于A：因为，所以或， 所以，A正确； 对于B：因为， 所以，， 所以， ，B正确； 对于C：若Rt中，，所以， 所以，C错误； 对于D：中， 所以， 所以，因 所以，即，是等腰三角形，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】，， 解得． 故答案为：． 13. 函数的值域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简原函数为，结合三角函数的有界性，利用配方法可得结果. 【详解】, , 所以函数的值域是，故答案为. 【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成或的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 . 14. 在锐角中，，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角公式变形可得或，再利用和角的正切公式及基本不等式求出最小值. 【详解】在锐角中，由，得， 整理得， 则， 即， 因此或， 则或， 当时，， ，当且仅当时取等号； 当时，， ，当且仅当时取等号， 而，所以当时，取得最小值10. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）在处取得极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据条件得，列出等式求解即可； （2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值． 【小问1详解】 ，因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得， 所以的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点， 因此函数在处取得极小值，无极大值，， 所以函数在内的极小值为，无极大值． 16. 记的内角，，所对的边分别为，，，满足，且. （1）求与比值； （2）当时，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到方程，利用三角恒等变换得到，分类讨论，得到，； （2）由正弦定理得，又，得到，求出. 【小问1详解】 ，故， 其中，所以， 若，则，则， 此时若，则，， 若，则， 要想，则， 又，所以，即，这是不可能的， 故舍去； 若，则，， 则，故，此时均为钝角，不合要求， 综上，； 【小问2详解】 ，由正弦定理得， 又，故，即， 又，，所以， 所以 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角C； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 因为，，由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值与的单调递增区间； （2）若且，求的值. 【答案】（1），单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后结合其周期性可得，再利用其单调性计算即可得其单调递增区间； （2）借助同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则有，解得， 令， 解得， 故的单调递增区间为； 【小问2详解】 由，则， 又， 则， 则 . 19. 已知函数. （1）当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据） （2）若分别是的两个不等的极值点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）存在 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，若“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴，则方程有两个不等的实数根，记，利用导数研究函数零点即可得证； （2）①先求，由分别是的两个不等的极值点即可求解； ②由分别是方程的两个不等的实根，不妨设，则，，要证，即证，设，利用导数研究单调性即可得知. 【小问1详解】 当时，，， 若“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴， 则方程有两个不等的实数根， 记，所以， 当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增， 又因为，，， 所以，使得，，使得， 所以方程有两个不等的实数根， 所以“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴. 【小问2详解】 ①因为，所以定义域为，且， 由切线不等式易知（当且仅当时，等号成立），即恒成立， 所以当时，，在上单调递增，不符合题意， 因为分别是方程的两个不等的实数根，所以，即， 所以实数的取值范围为. ②证明：因为分别是方程的两个不等的实根， 所以不妨设，则， 即，. 要证，即证. 当时，，由①知， 且有， 设，则. 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以. 由①可知在上单调递增， 所以，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 定义在上的满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C D. 6. 函数是偶函数，则（ ） A B. C. D. 7. 已知，，，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围可能是（ ） A B. C. D. 11. 对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若Rt中，，则 D. 若中，，则是等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，若，则__________． 13. 函数的值域是____________. 14. 在锐角中，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 16. 记的内角，，所对的边分别为，，，满足，且. （1）求与比值； （2）当时，求. 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值与的单调递增区间； （2）若且，求的值. 19. 已知函数. （1）当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据） （2）若分别是的两个不等的极值点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $