精品解析：云南省曲靖市麒麟区第四中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

麒麟区四中教育集团2025－2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 2. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 4. 一个十三边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 10. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 95分，95分 B. 95分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，85分 12. 关于的一元二次方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 14. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 15. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式_______． 17. 使有意义的x的取值范围是______． 18. 关于的方程的一个根为-1，则的值为__________． 19. 如图，在宽为18米，长为28米的矩形地面上修筑三条同样宽的道路（阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为368平方米，求道路的宽，若设道路宽为米，则根据题意可列方程为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，已知．求证：． 22. 本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 23. 甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 25. 某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为元，在销售过程中发现，每月销量万件与销售单价元之间关系如表所示： 销售单价元 月销量万件 （1）求每月的利润万元与销售单价元之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若是方程的一个根，求证：． 27. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麒麟区四中教育集团2025－2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：A． 3. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 4. 一个十三边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和为，掌握这一知识点是解题的关键；根据多边形的外角和为即可求解． 【详解】解：多边形的外角和为； 故选：D． 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式为是解题关键．根据二次函数的对称轴公式为，代入二次函数解析式系数的值求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线． 故选：A ． 6. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 7. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为， 故选：B． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故本题选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键． 9. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 10. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据“2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元”即可得出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，则2022的数字化改造总投入为：100（1+x）万元，2023的数字化改造总投入为：100（1+x）2万元，那么可得方程：100（1+x）2=180． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率某工厂对数字化改造总投入相等的方程． 11. 八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 95分，95分 B. 95分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，85分 【答案】A 【解析】 【详解】这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95， 故选A. 12. 关于的一元二次方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数以及一元二次方程的定义，依题意，一元二次方程有两个不同的实根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 方程 有两个不同的实根， ∴ 且， 其中， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ 故选 C 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 14. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ， 故选：C． 15. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 17. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴, ∴． 故答案为：． 18. 关于的方程的一个根为-1，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把x=−1代入方程进行求解即可． 【详解】解：把x=−1代入方程可得：1+2m+m=0， 解得：m=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 19. 如图，在宽为18米，长为28米的矩形地面上修筑三条同样宽的道路（阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为368平方米，求道路的宽，若设道路宽为米，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 利用平移可把草坪变为一个长为米，宽为米的矩形，从而根据题中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：若设道路宽为米，根据题意得： ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，二次根式的加法运算，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简乘方，二次根式，绝对值，零次幂，再算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 21. 如图，已知．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 22. 本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 【答案】赵老师骑共享单车每小时行驶20千米 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．首先设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，由赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时，列出方程，再解即可． 【详解】解：设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，根据题意得 ， 由， 得， 即， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时． 答：赵老师骑共享单车每小时行驶20千米． 23. 甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出树状图，即可得到答案； （2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，得出概率． 【小问1详解】 解：由题意得： 共有9种情况，分别是：． 【小问2详解】 解：由（1）得 其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有，共3种， ， 甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率为 【点睛】本题考查了树状图法求概率的问题，解题的关键是画出树状图． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解二元一次方程组，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为5． 25. 某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为元，在销售过程中发现，每月销量万件与销售单价元之间关系如表所示： 销售单价元 月销量万件 （1）求每月的利润万元与销售单价元之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． （1）先利用待定系数法求出关于的函数解析式，再根据“总利润单件利润销售量”可得函数解析式； （2）将（1）中所求函数解析式配方成顶点式即可得函数的最值情况． 【小问1详解】 解：根据表格数据，每月销量万件与销售单价元之间关系满足一次函数关系， 设， 将、和、代入， 得：， 解得：， ， 则； 【小问2详解】 解：， ∵， 当时，最大值， 答：当销售单价为25元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是50万元． 26. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若是方程的一个根，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵是方程的一个根， ∴，则，， ∴ ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． （1）根据题意得到，进而解不等式即可求解； （2）将代入方程中，得到，，进而求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， 故k的取值范围为； 【小问2详解】 略 27. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点、代入中求出，的值即可； （2）由点得，，从而得，化为顶点式，根据二次函数的图象与性质即可得到结论； 易得到，则分为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中，得 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ． 点是轴上的一动点，且轴， ，， ． ， 抛物线开口向下． 又点在线段上运动， ， ， 当时，有最大值； 轴， 轴，即， 、是以、为顶点的菱形的边； 如图所示，当为对角线时，      ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 轴， 轴，即轴， 点与点关于抛物线对称轴对称， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      ，，， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      同理可得， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图所示，当为对角线时， ， ， ， x， 轴， 轴，这与题意相矛盾， 此种情形不存在； 如图所示，当为对角线时，设，交于， 轴， ， ， ，这与三角形内角和为度矛盾， 此种情况不存在； 综上所述，存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $