5.4二元一次方程与一次函数法讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

二元一次方程与一次哈数 5.4二元一次方程与一次函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 解决实际问题的一般步骤 2 课前复习 工程问题 销售盈亏 新课探索 解二元一次方程组和一次函数的关系 3 新课探索 题型练习 求一次函数解析式 3 题型练习 两直线交点与方程组的解 图像法解方程组 求直线围成的图形面积 易错点 9 易错点 总结 10 总结 课前复习 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 新课探索 1、 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线 题型练习 1、 求一次函数解析式 1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图象平行的问题、求一次函数的解析式，解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式． 设此一次函数的解析式为，根据一次函数图象平行得到相同，再代入得到方程组求解即可． 【详解】解：设此一次函数的解析式为 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：． 故选：． 2．已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 2、 两直线交点与方程组的解 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 4．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为：即 故选：A． 3、 图像法解方程组 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 6．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 4、 求直线围成的图形面积 7．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的图象与坐标轴的关系可知待求的三角形为直角三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点可求出直角三角形的两直角边，从而很容易求得面积． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与x轴、y轴分别交于， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为： ． 故选：A． 8．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 易错点 · 不能准确地将二元一次方程转化为一次函数形式。如方程2x + 3y = 6，要转化为一次函数形式y = -x + 2，部分学生在移项和系数化为1的过程中容易出错。 · 在利用图像法求解二元一次方程组时，画图不准确导致解的判断错误。比如解方程组，分别画出两条直线的图像，如果直线画得不够精确，就可能误判交点坐标，从而得出错误的解。 总结 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程与一次哈数 5.4二元一次方程与一次函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 解决实际问题的一般步骤 课前复习 工程问题 销售盈亏 新课探索 解二元一次方程组和一次函数的关系 新课探索 题型练习 求一次函数解析式 题型练习 两直线交点与方程组的解 图像法解方程组 求直线围成的图形面积 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 新课探索 1、 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线 题型练习 1、 求一次函数解析式 1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2、 两直线交点与方程组的解 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 3、 图像法解方程组 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4、 求直线围成的图形面积 8．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 易错点 · 不能准确地将二元一次方程转化为一次函数形式。如方程2x + 3y = 6，要转化为一次函数形式y = -x + 2，部分学生在移项和系数化为1的过程中容易出错。 · 在利用图像法求解二元一次方程组时，画图不准确导致解的判断错误。比如解方程组，分别画出两条直线的图像，如果直线画得不够精确，就可能误判交点坐标，从而得出错误的解。 总结 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $