精品解析：吉林省松原市宁江区三校2025—2026学年上学期期中测试 八年级数学试卷

八年上期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 6. 如图，在中，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 等边三角形有______条对称轴． 8. 如图，在中，，，，与数轴交于D，E两点，且，若D，E对应的数分别为，3，则的长为______． 9. 如图，是等边三角形，，若，则的周长为______． 10. 如图，在中，，平分，，若，则的面积为_____． 11. 如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 13. 如图，直线，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：FCE是等腰三角形． 14. 如图，仪器可以用来平分一个角，AB=AD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是∠PRQ的平分线，你能说明其中的道理吗？ 15. 如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分． 16. 如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，． （1）求的度数； （2）求的度数． 17. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 18. 如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则的长为_____． 19. 如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为_____； （2）若，，求的度数． 20. 如图，已知，在四边形中，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 22. 如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． （1）当时，若是等腰三角形，求的值； （2）求为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年上期中测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，解决此题的关键是正确的理解轴对称图形的概念；根据概念一一判断即可； 【详解】解：A．是轴对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，该选项不符合题意； C．是轴对称图形，该选项不符合题意； D．不是轴对称图形，该选项符合题意； 故选：D ． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 3. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 4. 如图，在中，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 5. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 6. 如图，在中，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形外角定理求出∠EAC，再利用等腰三角形的性质得到∠ADE的度数，即可求出∠CDE的度数． 【详解】解：∵，， ∴∠EAC=+， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接， ∴AE=AD ∴∠ADE=（180°-∠EAC）=35°， ∴=180°-∠ADE= 故选A． 【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的外角定理与等腰三角形的性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 8. 如图，在中，，，，与数轴交于D，E两点，且，若D，E对应的数分别为，3，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，有理数与数轴．在中，，，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵D，E对应的数分别为，3， ∴， ∴， 故答案为：2． 9. 如图，是等边三角形，，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明是等边三角形即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，，平分，，若，则的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据角平分线的性质作出辅助线，根据三角形的面积公式即可得到答案； 【详解】解：如图，过点D作交于点E， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， 的面积为； 故答案为：12． 11. 如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】 证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 13. 如图，直线，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：FCE是等腰三角形． 【答案】 证明：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠1＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠DFE， ＝180°﹣60°， ＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE ＝180°﹣30°﹣120° ＝30°， ∴∠2＝∠CEF， ∴CF＝EF， ∴△FCE是等腰三角形． 【解析】 【分析】由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质，等腰三角形等角对等边的判定，熟记平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键． 14. 如图，仪器可以用来平分一个角，AB=AD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是∠PRQ的平分线，你能说明其中的道理吗？ 【答案】 证明：在△ABC和△ADC中， ∵AB=AD BC=DC AC=AC ∴△ABC≌△ADC , ∴∠BAC=∠DAC ∴AE就是∠PRQ平分线. 【解析】 【分析】根据题中条件证出△ABC和△ADC全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 15. 如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分． 【答案】 证明： 平分 点在线段CD的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 垂直平分 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，即可得出点在线段CD的垂直平分线上，再由即可得出垂直平分． 【详解】略 16. 如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数； （2）先根据对称的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵与关于对称， ∴， ∵是边上的高， ， ∴； 【小问2详解】 ∵与关于对称， ， 是的外角， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和，三角形外角的性质，对称的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 17. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】（1） 如图，为所求作图形； （2） 如图，为所求作图形； （3） 如图，四边形为所求作图形． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图； （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解； 掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则的长为_____． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半和等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是熟练运用三线合一； （1）根据等腰三角形中有一个的角即为等边三角形即可； （2）先根据等边三角形的性质得到角度，进而判断出等腰三角形，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半进而即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ 又， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为_____； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 20. 如图，已知，在四边形中，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识． （1）证明，即可得到答案； （2）根据等边对等角求出，由全等三角形性质得到，即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵ ∴， 21. 【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）①证明：在等边三角形内部取一点，在的右侧作等边三角形， ，，， ∴，即． 在和中， ， ∴． ②； （2）①； ②． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形的性质可得，，，再利用 “”证明即可；②由全等三角形的性质可得，由此即可得解； （2）①由角平分线的定义可得，再证明得出，由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解；②在线段上截取，证明为等边三角形，得出，，再由等边三角形的性质可得，，从而得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）①略 ②解：由①可得， ∴， ∵， ∴； （2）解：①的平分线与交于点， ． 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形，， ， ， ， 是和的外角， ， ． ②，理由如下： 如图，在线段上截取， ， 由①可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． （1）当时，若是等腰三角形，求的值； （2）求为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）或或时，为等腰三角形 （3）或1或6或 【解析】 【分析】（1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $