重庆市西南大学附属中学校2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知某扇形的周长为16，圆心角弧度数为2，则该扇形的面积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知，，，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．关于函数的图像的对称性，下列说法正确的是（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 7．已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 8．中，，点在边上，平分，，当最短时，（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．若，则 B． C．函数的最大值是 D．中，是的充要条件 10．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所有点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，下列说法正确的有（ ） A．的图像关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．若，且，则 11．已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A． B．当时，与的大小关系不确定 C．当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．记，当时，若为的极小值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递增区间是________． 13．中，角，，的对边分别为，，，，，则________． 14．函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）当时，求的值域． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ （2）实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2．现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； （3）按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检．设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望． 附：参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，． （1）求双曲线的标准方程； （2）如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 19．（17分）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“下切线”； （2）若函数有“上切线”或有“下切线”，求实数的取值构成的集合； （3）若直线：既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求实数的取值范围． 答案 1—8 BCDCABAC 9．BD 10．ACD 11．ACD 12． 13． 14． 15．（1）由题． 令，解得：对称中心为． （2）的值域为 16．（1）在中，， 由余弦定理得， 所以。所以为直角三角形．即， 又因为面，所以又因为且， 所以面，所以，所以 又因为面面，所以面 （2）由第一问得两两垂直，以为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系． 设为面的法向量， 令解得 记与面所成角为． 17．（1）零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关． 由列联表， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关． （2）设事件实际循环达标的电芯，事件实际循环不达标的电芯，事件被判定循环达标． 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0．53． （3）由题意可知的所有可能取值0，1，2． 可得 所以的分布列为： 0 1 2 故． 18．解：（1）由题意得双曲线标准方程为． （2）（2）设直线，联立得 因为直线与双曲线有两个交点 ，且 设则． 直线方程为当时，． 为定值． （3）存在， 设切线方程为 整理得在以为焦点的椭圆上． 存在点使为定值． 19．解：（1）对求导可得 所以直线是函数在点处的切线， 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以直线是函数的“下切线”； （2）当是函数的“上切线”时， 对一切恒成立且等号能取到 即， 化简得对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 当是函数的“下切线”时， 对一切恒成立且等号能取到， 即， 化简得对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 综上可得． （3）与直线相切，设切点为，则切线斜率， 所以的切线方程为，即， 因为直线是函数的“下切线”， 所以即恒成立，且， 令，则，令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以，即， 又直线是函数的“上切线”， 所以即恒成立， 因为直线是函数的切线， 所以存在唯一一个使，即有且只有一个实数根，所以， 所以， 所以， 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增，又，所以当时，，当时， 又，所以当时，，当时，， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以 学科网（北京）股份有限公司 $