精品解析：天津市弘毅中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

天津市弘毅中学2025-2026学年度第一学期过程性诊断1 高二数学 本试卷满分120分，考试用时100分钟. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】即，， 设直线的倾斜角为，则， 由于，所以， 故选：A. 2. 直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 3. 如果，，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限. 【详解】由题设，直线可写成，又，， ∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限. 故选：A. 4. 直线经过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【详解】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故答案为：B 5. 已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线的距离公式列方程求解即可． 【详解】已知点、到直线的距离相等， 根据距离公式可得，也即， 当时，解得； 当时，也即，显然不成立，故． 故选：D． 6. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 7. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，应用点线距离、圆中弦长的几何求法求弦长. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D 8. 已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 9. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为的最大值问题，结合图象分析可得. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 如图，因为，所以， 由图可知，， 当且仅当三点共线，点位于点时取得最大值. 故选：C 二、填空题（本大题共7小题；每小题4分、共28分） 10. 已知点和点，点在轴上，且为直角，则点的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设点，进而根据求解即可. 【详解】解：设点，因为点和点， 所以，，， 因为为直角， 所以，解得 所以点的坐标为. 故答案为： 11. 已知直线与直线平行，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行列式求值. 【详解】若即， 则：，：，两直线不平行，所以. 由，且，所以. 故答案为： 12. 点关于直线的对称点的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设所求点坐标为，进而根据对称性得，再解方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则与的中点在直线，且过与的直线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以，即，解得， 所以，点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为： 13. 已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 14. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上，则此圆的标准方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求标准方程即可． 【详解】设圆心的坐标为，则有， 整理求得，故圆心为，， 则圆的方程为． 故答案为： 15. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 16. 已知点，，直线与线段相交，则的范围为___________. 【答案】，， 【解析】 【分析】先求出的斜率和的斜率，可得的范围. 【详解】解：直线，即， 它经过定点，斜率为， 的斜率为，的斜率为， 直线与线段相交， 或，求得或， 故答案为：，，. 三、解答题（本大题共4小题，共56分） 17. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过两条直线和的交点，且平行于直线； （2）垂直于直线，且到点的距离为1. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解； （2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 联立，得， 设平行于直线的直线方程为，代入点， 得，得， 所以满足条件的直线方程为； 【小问2详解】 设垂直于直线的直线方程为， 点到直线的距离，解得或， 所以满足条件的直线方程为或. 18. （1）判断圆与圆是否相切，并证明； （2）直线与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程. 【答案】（1）内切，证明： 圆化为标准式为，圆心为，半径为1， 圆化为标准式为，圆心为，半径为6， 则，， 所以，即两圆内切. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两圆的圆心距、两圆半径之和与两圆半径之差之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系即可证明； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，由直线与圆相切得到方程，求出答案. 【详解】（1）略 （2）因为圆的圆心为，半径为， 当截距为0时，设直线：，则，解得， 所以直线的方程为； 当截距不为0时，设直线：，，即， 则，解得（舍去）或， 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． 【小问3详解】 ，所以，所以， 则． 20. 已知圆，点是直线上的动点. （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2），证明： 设过点的直线与：的交点为，与直线：的交点为. 因为为线段的中点， 所以. 所以直线的斜率为：. 所以直线的斜率为定值，且. （3）定点，证明： 设，因为，所以直线的方程为. 由. 因为是方程的一个根，所以另一根，也就是的横坐标为： ， 所以，即. 同理，直线的方程为，由可得. 所以， 设直线方程为，则. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）先判断两圆相交，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. （2）先列出直线与，的交点，根据为交点的中点，可求直线的斜率. （3）写出直线，的方程，分别与圆方程联立，可得坐标，进而求直线的方程，可得直线经过定点. 【小问1详解】 因为两圆的圆心距为，且， 所以圆与圆相交. 所以两圆的公共弦所在的直线方程为：， 化简得：，即为直线的方程. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2025-2026学年度第一学期过程性诊断1 高二数学 本试卷满分120分，考试用时100分钟. 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 3. 如果，，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 直线经过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 6. 方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共7小题；每小题4分、共28分） 10. 已知点和点，点在轴上，且为直角，则点的坐标为_____. 11. 已知直线与直线平行，则的值为_____. 12. 点关于直线的对称点的坐标为_____. 13. 已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 14. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上，则此圆的标准方程为_____． 15. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 16. 已知点，，直线与线段相交，则的范围为___________. 三、解答题（本大题共4小题，共56分） 17. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过两条直线和的交点，且平行于直线； （2）垂直于直线，且到点的距离为1. 18. （1）判断圆与圆是否相切，并证明； （2）直线与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 20. 已知圆，点是直线上的动点. （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $