精品解析：甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2025-2026学年高三上学期建标考试数学试卷

兰州市第五十八中学教育集团建标考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时．选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念即可得到答案． 【详解】， 故选：D． 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的求法求得正确答案. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， . 故选：B 3. 已知集合且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B，再根据集合的交集运算的概念即可求解． 【详解】，， ∴， 故选：D． 4. 甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 60种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种， 然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种， 最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种， 根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种. 故选：B 5. 已知均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式两边平方，利用模长平方公式展开，根据向量数量积和夹角范围即可求解． 【详解】已知均为单位向量，即， 首先将不等式两边平方，利用模长平方公式展开： ， ， 由，得， ，， 所以，， 又因为， 所以． 综上，与互为充要条件． 故选：C． 6. 设，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． 7. 已知表示不超过的最大整数，且，则（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质化简已知条件，求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】因，所以， 则，则，所以， 则. 故选：C 8. 把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形特征得出，再应用二面角定义得出平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】 取为的中点，则. 设球的半径为，则，得，则. 因为，， 所以二面角的平面角为. 由，得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB根据函数奇偶性进行判断；C由判断；D由判断. 【详解】A、B，与定义域为R， 因为， ， 所以是奇函数，是偶函数，A，B均正确； C，因， 所以曲线不关于直线对称，C错误； D，因为，所以曲线关于点中心对称，D正确. 故选：ABD 10. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由抛物线方程求准线方程即可；对于B：根据题意结合抛物线的定义分析求解；对于C：根据抛物线的性质即可得结果；对于D：分析可知垂直于轴，结合方程运算求解即可. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以的准线方程为，故A正确； 对于选项B：因点在的内部，过点作垂直于直线，垂足为， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为直线过焦点， 可知当垂直于轴时，取到最小值为，C正确； 对于选项D：当为正三角形时，可知垂直于轴， 设，则，代入的方程得，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据加成函数的定义，判断出为增函数，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，得， 若为加成函数，则函数为上的增函数. 设，，则， 所以不是增函数，A错误. 若是加成函数，则是增函数，则也是增函数， 所以是加成函数，B正确. 设，，则， 因为，，所以， 又，所以，则，则为增函数， 所以是加成函数，C正确. 取，则，所以不是加成函数， 但，则是加成函数，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式即可求得答案． 【详解】∵圆锥的底面半径为3，高为， ∴圆锥的母线为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13. 某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为___________小时，平均数为___________小时． 一周的运动时长 3 4 5 6 7 8 9 人数 15 10 8 10 10 8 9 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据中位数和平均数的概念即可计算． 【详解】∵数据有70个，∴中位数是当这些数据从小到大排列时，排在第35位和第36位数的平均数， ∵一周运动时长在3，4，5小时的人数之和为， 一周运动时长在3，4，5，6小时的人数之和为， ∴中位数为； 这组数的平均数为， 故答案为：6；． 14. 当时，不等式有解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，令，问题化为求有解时的取值范围，即．，令，则求出t的范围和的最小值即可． 【详解】当时，不等式有解，等价于存在使得． 设，则问题转化为求有解时的取值范围，即． ，令，则. ①求的值域： 对求导得，令得． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故的最小值为，且时时， 因此． ②求的最小值： 对求导得，令得． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故的最小值为，且对应（此时）， 因此，当且仅当时取等号． ③确定的取值范围： ，即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）求，的通项公式. （2）证明：为定值. （3）求数列的前2n项和. 【答案】（1），. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得等比数列，的公比，进而求得通项公式. （2）通过计算证明为定值. （3）利用分组求和法求得. 【小问1详解】 依题意可得的公比为，首项， 的公比为，首项， 所以，. 【小问2详解】 因为，，所以为定值. 【小问3详解】 . 16. 某手机经销商销售某品牌手机，若某部手机售出后没有问题，则该部手机的利润为300元；若某部手机有小问题，则经销商需对该部手机进行更换并赔偿顾客100元，此时该部手机的利润为元；若某部手机有大问题，则经销商需对该部手机进行退货处理，此时该部手机不仅没有售出的300元利润，还要赔偿顾客200元，即此时该部手机的利润为元.已知每部手机没有问题、有小问题、有大问题的概率分别为0.9，0.09，0.01.且各部手机有无问题相互独立， （1）设每部该品牌手机的利润为X元，求X的分布列与数学期望； （2）若经销商销售了三部该品牌手机，求其获得的总利润不少于700元的概率. 【答案】（1）分布列见解析，286 （2）0.96957 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的分布列，进而求得数学期望. （2）根据相互独立试验概率计算公式求得获得总利润不少于700元的概率. 【小问1详解】 由题意知X的取值可能为300，200，， 且X的分布列为 X 300 200 P 0.9 0.09 0.01 则. 【小问2详解】 设表示销售三部手机获得的总利润不少于700元， 则这三部手机售出后均没有问题或两部手机售出后没有问题， 一部有小问题或一部手机售出后没有问题，两部有小问题， 所以. 17. 如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，证明线线平行，进而得到线面平行. （2）先证明线面垂直平面，再由面面垂直判定定理证明面面垂直。 （3）建立空间直角坐标系，用向量法求解，先求平面法向量，再利用线面角与向量夹角的关系计算. 【小问1详解】 分别为棱的中点， ， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 平面，所以， 因为，为中点， 所以， 又因为平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 【小问3详解】 如图所示： 以为原点，为轴，为轴，过且平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系 在中，因为直三棱柱的高为， 所以，且, 因此，所以，由 那么， 所以 ， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为, , 所以直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，的导函数为. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的导函数的最小值为0，求的值； （3）若对恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用导数研究的单调性，由最小值为列方程，由此求得. （3）由对恒成立，分离参数，然后利用构造函数法，结合导数求得整数的最大值. 【小问1详解】 ，则， 因为，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 设，则， 设的导函数为，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，解得. 【小问3详解】 由对恒成立，得对恒成立. 设，则 ， 设，则， 设，， 所以在上单调递增. 因为，，所以存在唯一的，使得， 则在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，， 所以存在，使得. 综上，易知在、上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ， 因为在上单调递减， 所以，所以. 又，所以整数的最大值为. 19. 已知点在椭圆：上，且长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解； （2）应用斜率公式结合椭圆方程计算化简求值； （3）设直线l的方程为：，联立椭圆C的方程得到韦达定理，结合弦长公式及点到直线距离再化简求出面积，再应用值域求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以的方程为. 【小问2详解】 是定值，该定值为. 理由如下： 设，，则由，得， 同理可得， 则. 【小问3详解】 设：，，. 由，得， 则， 所以. 设，则，得， 所以直线的方程为. 设，.由得，则. 点到直线的距离，点到直线的距离. 因为，在的两侧， 所以 ， 四边形的面积 . 由，得，得， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十八中学教育集团建标考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时．选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A 2 B. C. D. 2. 双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合且，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 60种 D. 96种 5. 已知均为单位向量，则“”是“”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知表示不超过的最大整数，且，则（ ） A 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点中心对称 10. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的侧面积为___________． 13. 某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为___________小时，平均数为___________小时． 一周的运动时长 3 4 5 6 7 8 9 人数 15 10 8 10 10 8 9 14. 当时，不等式有解，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）求，的通项公式. （2）证明：为定值. （3）求数列的前2n项和. 16. 某手机经销商销售某品牌手机，若某部手机售出后没有问题，则该部手机的利润为300元；若某部手机有小问题，则经销商需对该部手机进行更换并赔偿顾客100元，此时该部手机的利润为元；若某部手机有大问题，则经销商需对该部手机进行退货处理，此时该部手机不仅没有售出的300元利润，还要赔偿顾客200元，即此时该部手机的利润为元.已知每部手机没有问题、有小问题、有大问题的概率分别为0.9，0.09，0.01.且各部手机有无问题相互独立， （1）设每部该品牌手机的利润为X元，求X的分布列与数学期望； （2）若经销商销售了三部该品牌手机，求其获得的总利润不少于700元的概率. 17. 如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，的导函数为. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的导函数的最小值为0，求的值； （3）若对恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，） 19. 已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $