1.4 线段垂直平分线与角平分线 第2课时课件-2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理及逆定理，通过折叠纸片的情境引入，引导学生动手观察点到两边距离关系，形成“动手感知-问题探究-定理证明”的学习支架，连接直观操作与逻辑推理。 以探究为主线，折叠操作培养几何直观（数学眼光），定理证明步骤（问题-提示-符号语言）发展推理能力（数学思维），综合例题（如三角形角平分线交点问题）提升应用意识（数学语言）。帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第2课时　角平分线的性质 第1章　1.4　线段垂直平分线与角平分线 1.探索并证明角平分线的性质定理和逆定理.(重点、难点) 2.能灵活运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题.(重点、难点) 学习目标 情境引入 在一张薄纸上画∠AOB.折叠纸片使角的两边重合.在折痕上任取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD(如图).沿原折痕折叠，你有什么发现？ 一、角平分线的性质定理 问题1　如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C，D.PC与PD一定相等吗？如何证明？ 提示　在△DOP和△COP中，由∠PDO=∠PCO=90°，∠DOP=∠COP，OP=OP，通过“AAS”，可以证明△DOP≌△COP，所以PC与PD相等. 知识梳理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 . 符号语言： ∵OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE(角平分线的性质定理). 相等 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB.求证：BE=FD. 例1 证明　∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD=CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL)， ∴BE=FD. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N，求证：PM=PN. 跟踪训练1 证明　∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD， ∴∠ADB=∠CDB， ∴DP是∠ADC的平分线. ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN. 二、角平分线性质定理的逆定理 问题2　如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？如何证明？ 提示　如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C，D，且QC=QD. 画射线OQ，在△OCQ和△ODQ中，∠QCO=∠QDO=90°， OQ=OQ，QC=QD，通过“HL”，可以证明Rt△OCQ≌Rt△ODQ，所以∠AOQ=∠BOQ，所以点Q在∠AOB的平分线上. 问题3　如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF.CD与EF相交于点P，连接OP.OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ 提示　OP是∠AOB的平分线.理由如下： 如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N. ∵尺的宽度相等， ∴PM=PN， ∴点P在∠AOB的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). ∴OP是∠AOB的平分线. 知识梳理 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 符号语言： ∵QD=QC，QD⊥OB，QC⊥OA， ∴点Q在∠AOB的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 相等 (课本P38例2)如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上. 例2 证明　如图，过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N. ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF=PN(角平分线的性质定理). 同理，PF=PM， ∴PM=PN. ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 三角形的三条角平分线交于一点. 反思感悟 如图，判断△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线的交点O是否在∠A的平分线上，并证明你的结论. 跟踪训练2 解　点O在∠A的平分线上. 证明如下： 过O作OI⊥AB于点I，OH⊥BC于点H，OQ⊥AC于点Q，如图所示. ∵点O是∠CBE，∠BCF平分线的交点， ∴OI=OH，OQ=OH(角平分线的性质定理). ∴OI=OQ， ∵OI⊥AB，OQ⊥AC， ∴点O在∠BAC的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 课堂小结 1.如图，OD是∠AOB的平分线，点P在OD上，点P到OA的距离PE为5.点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为 A.PN<5 B.PN>5 C.PN≥5 D.PN≤5 √ 随堂演练 解析　如图，过点P作PM⊥OB于点M， ∵OD是∠AOB的平分线，点P在OD上， PE⊥OA，PM⊥OB， ∴PM=PE=5， ∴PN≥5. 随堂演练 2.如图所示是一块△ABC的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边的中垂线的交点 √ 解析　∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点. 随堂演练 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　　.  4 解析　如图，过点D作DE⊥AB于点E，则DE的长度即为所求， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴DE=CD(角的平分线上的点到角两边的距离相等). ∵CD=4，∴DE=4. 随堂演练 4.如图，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，若BD=DC，∠BAC=120°，则∠BAD的度数是　 　.  解析　∵DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC， ∴AD为∠BAC的平分线. ∴∠BAD=∠BAC=60°. 60° 随堂演练 5.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF. 求证：点D为BC的中点. 随堂演练 证明　如图，连接AD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF， ∴AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(SAS). ∴BD=CD，即点D是BC的中点. 随堂演练 本课结束 $