1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时课件 2025-2026学年 苏科版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理及逆定理，通过“公路旁设汽车站使两村距离相等”情境引入，联系轴对称图形旧知，以问题链引导探究，用全等推理构建从证明到应用的学习支架。 其亮点在于融合情境与推理，以现实问题（如建商场位置）培养数学眼光，通过全等证明发展数学思维，用符号语言提升表达能力。例题变式训练和清晰小结助力知识构建，既培养学生推理与应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

第1课时　线段垂直平分线的性质 第1章　1.4 线段垂直平分线与角平分线 1.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.(重点、难点) 2.能灵活运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题.(重点、难点) 学习目标 情境引入 1.我们已经知道，线段和角都是轴对称图形，它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线.下面，我们利用全等三角形研究它们的性质. 2.如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A，B两村到车站距离相等？ 一、线段垂直平分线的性质 问题1　如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB.线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ 提示　因为OP是线段AB的垂直平分线，所以AO=BO，∠POA=∠POB=90°.通过“SAS”，可证△POA≌ △POB，所以PA与PB相等. 问题2　试着解决本节“情境引入”中的第2题. 提示　利用线段垂直平分线的性质定理解决问题，到A，B两村的距离相等只要连接AB，作出线段AB的垂直平分线，找出与公路交点即可.如图所示，点P即为公共汽车站的位置. 知识梳理 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 . 符号语言： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线的性质定理). 相等 如图，在△ABC中，AC=4，BC=10，AB的垂直平分线交BC于点D，点E是垂足，求△ACD的周长. 例1 解　∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC=4，BC=10， ∴DA=DB(线段垂直平分线的性质定理). ∴△ACD的周长=DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=10+4=14. 如图，在△ABC中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长. 跟踪训练1 解　∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ∴BD=AD，CF=AF， ∵△DAF的周长为16， ∴AD+DF+AF=16， ∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16. 二、线段垂直平分线性质定理的逆定理 问题3　如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ 提示　如图1，当点Q在线段AB上时，如果QA=QB，那么Q是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q. 如图2，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA=∠QMB=90°.如果QA=QB，那么通过“HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM，所以AM=BM，即M是线段AB的中点， 所以QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 问题4　如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ 提示　图中相等的角有∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°，∠ABC= ∠ADC，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD， ∠ABE=∠ADE，∠CBE=∠CDE. 证明：∵AB=AD，CB=CD， ∴点A，C在线段BD的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理)， ∴AC垂直平分BD， ∴∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠ABC=∠ADC，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD. 在Rt△ABE和Rt△ADE中， ∴Rt△ABE≌△ADE(HL)， ∴∠ABE=∠ADE. 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)， ∴∠CBE=∠CDE. 知识梳理 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离 的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 符号语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). 相等 (课本P36例1)如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上. 例2 证明　如图，连接OA，OB，OC. ∵点O在AB的垂直平分线l1上， ∴OA=OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理，OA=OC. ∴OB=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). 三角形三条边的垂直平分线交于一点. 反思感悟 如图，点E在BD上，AE=CE，AB=BC.求证：AD=CD. 跟踪训练2 证明　如图，连接AC， ∵AE=CE，AB=BC， ∴点B，E在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). ∴BE垂直平分AC，即BD垂直平分AC. ∴AD=CD(线段垂直平分线的性质定理). 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 课堂小结 1.如图，P在线段AB的垂直平分线l上，已知PA=5，AC=3，PC=4，则线段PB的长度是 A.6 B.5 C.4 D.3 √ 解析　∵P在线段AB的垂直平分线l上， ∴PA=PB， ∵PA=5， ∴PB=5. 随堂演练 2.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的 A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 √ 解析　∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这条边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点. 随堂演练 3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD=10，DB=6，则BC长是　　　.  16 解析　∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴BC=BD+DC=BD+AD=6+10=16. 随堂演练 4.如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=BC+AC，则C点在线段 　　　的垂直平分线上.  解析　∵BD=BC+AC， 而BD=BC+CD， ∴AC=CD， ∴点C在AD的垂直平分线上. AD 随堂演练 5.某城区规划局为了方便居民生活，计划在三个住宅小区A，B，C(如图所示)之间建购物商场，该购物商场建在何处才能使这三个住宅小区到该购物商场的距离相等？ (1)在图中用尺规作图确定购物商场的位置； 随堂演练 解　连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即是作AB的垂直平分线；同理连接BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是商场的位置，如图所示. 随堂演练 (2)证明你所确定的位置到三个住宅小区的距离相等. 证明　如图，连接PA，PB，PC， ∵PF，PQ是BC，AB的垂直平分线， ∴PB=PC，PB=PA， ∴PA=PB=PC. 随堂演练 本课结束 $