3.3　勾股定理的简单应用(2) 课件 2025-2026学年 苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理的应用，涵盖解三角形、实际问题解决、数轴表示无理数及直角三角形射影定理等核心知识点。通过课本例题（如垂线段最短证明）衔接已学基础，过渡到救生员路径计算、射影定理探究等实际与拓展内容，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于“理论-实践-探究”融合，以数学眼光（几何直观，如数轴表示√10）、思维（推理意识，如射影定理证明）、语言（模型意识，如救生员路径建模）培养核心素养。采用例题引领、分层演练，小结通过反思感悟梳理体系，助力学生提升应用与推理能力，为教师提供系统教学资源与多样化实例。

3.3　勾股定理的简单应用(2) 第3章　勾股定理 1.能应用勾股定理及其逆定理解三角形. 2.进一步巩固应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题能力. (重点、难点) 学习目标 例1 (课本P99例2)证明：直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短. 已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点. 求证：PA<PQ. 证明　∵PA⊥l， ∴△APQ为直角三角形.根据勾股定理，得PQ2=PA2+AQ2. ∵AQ>0，∴PQ2=PA2+AQ2>PA2. ∴PA<PQ. 跟踪训练1 如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A处跑到离B处最近的点C，然后从点C游向B处，经测量AC=40 m，BC=30 m.若救生员在岸边行进的速度是5 m/s，在海中行进的速度是2 m/s，请分析救生员的选择合理吗？ 解　救生员的选择合理，理由如下： 由题意得∠ACB=90°， ∵AC=40 m，BC=30 m， ∴AB==50(m)， ∵救生员在岸边行进的速度是5 m/s，在海中行进的速度是2 m/s， ∴救生员由A点直接游向B处需要的时间为50÷2=25(s)， 救生员由A点跑到C再游向B处需要的时间为40÷5+30÷2=23(s)， ∵25 s>23 s， ∴救生员的选择合理. (课本P100例3)如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD=h，AD=m，DB=n.求证：h2=mn. 例2 证明　在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC2=h2+m2. 在Rt△DBC中，根据勾股定理，得BC2=h2+n2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2. ∵AB=m+n， ∴h2+m2+h2+n2=(m+n)2， ∴h2=mn. 在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB；AC·BC=CD·AB. 反思感悟 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD=h，AD=m，DB=n. 求证：AC2=m·AB，BC2=n·AB. 跟踪训练2 证明　在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC2=h2+m2. ∵h2=mn， ∴AC2=mn+m2=m(m+n)=m·AB. 同理可得，BC2=n·AB. (课本P100探究)如图，在数轴上点B表示，点C表示…. 你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值. 例3 解　在Rt△AOA1中OA1==，在Rt△A1OA2中OA2==，在Rt△A2OA3中OA3==，…，在Rt△A4OA5中OA5==. 以O为圆心OA5长为半径画弧，与数轴的正半轴的交点即为表示的点. ∴可以在数轴上画出表示的点. ∵a1==，a2==，a3==，…， ∴a99===10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为3，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为　　 　.  跟踪训练3 108 解析　∵图①中的直角三角形斜边长为3， 如图可知， ∠ACB=90°，AB=3，AC2+BC2=AB2=9， ∴图①中正方形的和为9+9=18， ∴图②中所有正方形面积和， 即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为18+9=27， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为18+9×2=36， …， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为18+9×10=108. 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 课堂小结 1.如图，AD是△ABC的中线，若AB=8，BC=10，AC=6，则AD等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析　∵62+82=102， ∴△ABC是直角三角形， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD=BC=5. 随堂演练 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=4，CD=6，则AD的长为 A.8 B.10 C.9 D.12 解析　∵Rt△ABC，CD⊥AB，CD2=AD·BD， ∴AD===9. √ 随堂演练 3.如图，在数轴上点A表示的实数是　 　.  解析　在直角三角形中，由勾股定理可得斜边长==， ∴点A表示的实数是-. - 随堂演练 4.如图，数轴上，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C，连接OC，AC，BC.求线段OC的长度. 随堂演练 解　由题意知AB=AC=BC=1， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=60°， ∵OA=AC， ∴∠AOC=∠ACO. ∵∠AOC+∠ACO=∠CAB=60°，∴∠AOC=∠ACO=30°. ∴∠OCB=90°. 在Rt△OCB中，OC===. 随堂演练 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边作正方形ABDE，与△ABC位于AB的同侧，图中阴影部分的面积是多少？ C A B D E ∟ 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2＝AC²＋BC2＝2²＋42＝20， ∴S正方形ABDE＝AB2＝20， S△ABC＝×AC×BC＝×2×4＝4， ∴S阴影＝S正方形ABDE－S△ABC＝20－4＝16． 求出平方即可. 本课结束 $