3.3 勾股定理的简单应用(1) 课件 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理的简单应用，通过手机屏幕面积比较、《九章算术》“折竹”等实际问题导入，衔接勾股定理基本内容，以例题解析和跟踪训练为支架，帮助学生掌握定理在几何与实际问题中的应用。 其亮点在于融入传统文化问题与现代生活实例，通过建模思想将实际问题转化为直角三角形模型，发展学生几何直观与推理意识。课堂小结分类梳理应用场景，学生能提升分析解决问题能力，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

3.3　勾股定理的简单应用(1) 第3章　勾股定理 1.能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点、难点) 2.感受“转化”“建模”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力.(难点) 学习目标 例1 (课本P97问题)甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2∶1和16∶9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm) 解　设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸；乙手机屏幕的长、宽分别为16y英寸，9y英寸.根据勾股定理，得 +x2=5.52， +(9y)2=5.42， 分别得到x2=6.05，y2=， 进而分别可以求出甲手机屏幕的面积为12.1平方英寸，乙手机屏幕的面积约为12.5平方英寸.所以乙手机屏幕的面积更大. 跟踪训练1 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为 A.x2+52= B.x2+102= C.+52=x2 D.+102=x2 √ 解析　水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺， 根据题意，得x2+52=. (课本P98例1)《九章算术》中有一个“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 例2 解　如图，竹子在点B处折断，竹梢点A着地，△ABC是直角三角形. 设BC的长为x尺，则AB的长为(10-x)尺. 根据勾股定理，得x2+32=(10-x)2. 解得x=4.55. 所以折断处离地面4.55尺. 如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里. (1)若甲、乙两船离开港口一小时后分别位于Q，R处(图1)，且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东72°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由； 跟踪训练2 解　由题意可得∠APQ=72°，PQ=6×1=6(海里)， PR=8×1=8(海里)， 在△PQR中， ∵PQ2+PR2=62+82=100，QR2=102=100， ∴PQ2+PR2=QR2， ∴△PQR是直角三角形，且∠QPR=90°， ∴∠BPR=180°-∠APQ-∠QPR=180°-72°-90°=18°， ∴乙船沿南偏东18°方向航行. (2)若甲船沿北偏东60°方向航行(图2)，从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由.(参考数据：≈1.7) 解　过点C作CD⊥AB于D， 由题知∠CPD=60°，则∠C=30°，PC=2×6=12(海里)， ∴PD=PC=6海里， ∴CD==6≈10.2(海里)， 45×=10.5(海里)， 10.5>10.2， ∴他能在14分钟内回到海岸线. 课堂小结 1.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草.他们仅仅少走了 A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m √ 解析　根据题意，得长方形花圃的四个角为90°， ∴花圃内的一条“路”长==13(m)， ∴仅仅少走了5+12-13=4(m). 随堂演练 2.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为 A.(x+6)2+x2=102 B.(x-6)2+x2=102 C.(x+6)2-x2=102 D.62+x2=102 √ 解析　宽为x尺，则高为尺，门的对角线长10尺， ∴由勾股定理可得+x2=102. 随堂演练 3.如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为12 cm，高为16 cm，今有一根长22 cm的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为　　　cm.  解析　∵底面直径为12 cm，高为16 cm， ∴吸管露在杯口外的长度最少为22-=22-20=2(cm). 2 随堂演练 4.如图，一架5米长的梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离BC为3米. (1)求这个梯子的顶端A到地面的距离AC的值； 解　在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+CB2=AB2， 即AC2+32=52， 所以AC=4米， 即这个梯子的顶端A到地面的距离AC为4米. 随堂演练 (2)如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？ 解　DC=4-1=3(米)，DE=5米， 在Rt△DCE中，由勾股定理得DC2+CE2=DE2， 即32+CE2=52， 所以CE=4米， BE=CE-CB=4-3=1(米)， 即梯子的底端B在水平方向滑动了1米. 随堂演练 5.如图，在一次消防演习中，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上.当梯子位于AB位置时，AO＝2.4 m，BO＝1.8m．如果梯子顶端要下降0.4m(即AC＝0.4m)，那么梯子的底端B应向右滑动多少米？ 解：在Rt△ABO中， ∵AB2＝AO2＋BO2＝2.42＋1.82＝9.0， ∴AB＝3m，∴CD＝AB＝3m， 在Rt△CDO中，∵CO＝AO－AC＝2.4－0.4＝2(m)， ∴OD2＝CD2－CO2＝32－22＝5， ∴OD＝≈2.236(m)， ∴BD＝OD－OB≈2.236－1.8＝0.436≈0.4(m)． 答：梯子的底端B应向右滑动约0.4米. 6.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设芦苇长AB＝x尺，则水深BC＝(x－1)尺， 由题意得 (x－1)2＋52＝x2， 解得 x＝13 即AB＝13尺，BC＝12尺. 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺. ┐ B C A 1尺 5尺 本课结束 $