精品解析：期中自我测试题2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级数学 期中自主检测题 （第1-3章内容） 时间∶120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：，，，共3种， 第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一般形式为（），需通过移项将所有项移到等号左边，且按未知数次数从高到低排列，移项时注意符号变化． 先明确一元二次方程一般形式的结构（等号右边为0，左边按项、项、常数项顺序排列）；再对原方程进行移项，将右边的移到左边并变号；最后整理左边各项顺序，对比选项确定正确答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），需将所有项移至等号左边，按项、项、常数项排序． 对原方程移项（右边3x移到左边变号），得． A、方程未按项、项、常数项顺序排列，不符合一般形式规范，此选项不符合题意； B、常数项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； C、方程符合一般形式定义，此选项符合题意； D、项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题中，正确的是（　　） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据判定方法逐一判断即可． 【详解】A：一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误； B：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C：等腰梯形一组对边平行，另一组对边相等，不为平行四边形，故C错误； D：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故D正确； 故选：D． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 5. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 6. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示： 图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 7. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 8. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可判断①；连接，证明四边形是平行四边形，得出，，求出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；连接交于，证明，得出，即可判断②；设，，则，表示出，，由等腰直角三角形的性质可得，结合得出，求解即可判断④，从而即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； 连接， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 设，，则， ∴，， ∵，， ∴， 若，则， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为______． 【答案】6.3 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意可得落在黑色区域的概率约为0.7，再列式计算即可得解，理解题意，正确得出落在黑色区域的概率约为0.7是解此题的关键． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴落在黑色区域的概率约为0.7， ∴该二维码黑色部分的总面积约为， 故答案为：6.3． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两根，则_____． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，以及，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 分3是底边和3是腰长，两种情况进行讨论． 【详解】解：当3是底边时，另两边为腰，长度相等，则有两个相等的实数根， ∴， ∴， 方程为：，解得， ，满足题意； 当3是腰长时，则3是的一个根，设另一个根为， 则：， ∴，； ，满足题意； 故6或． 故答案为：6或 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理求出、，最后由菱形面积即可得解． 【详解】解：菱形中，、互相垂直平分， 点是、中点，， ， ， ， ，， 中，， ， 菱形的面积． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理解直角三角形、菱形的面积，解题关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， 故答案：． 15. 如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键；连接，取其中点E，连接，则，当点E在线段上时，取得最大值；由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得的长，从而求得的最大值． 【详解】解：如图，连接，取中点E，连接， 则，当点E在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程，掌握因式分解的计算是关键； （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若该是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解：当是等边三角形时，， 原方程可化为：，即 ， ， ， 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ，即， 是直角三角形． 18. 2025年1月20日，发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； （2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，72；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用Ａ的人数除以其所占的百分比即可得到结论，再利用圆心角的意义解答即可；②求出的人数，即可补全图象． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 【小问1详解】 ①解：根据题意，得（人）， C类所占圆心角为：， 故答案为：50，72； ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 补全图形如下： ． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为 19. 如图，菱形的对角线长为，周长为，求对角线的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由四边形是菱形，求出边长为，，利用勾股定理即可求出，从而求出. 【详解】解：，菱形的周长为， ，． ∵四边形是菱形， ，， 在中， ． ． 20. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； （3）若方程两个根均为正整数，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）5或8或9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得； （2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：当取最大整数值时，则， ∴方程， 解得， ∵方程与有一个相同的根， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∵这个方程的两个根均为正整数， ∴①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， 综上，的值为5或8或9． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在 ，中，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1） （2）70 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 23. 如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连结、交于点O． （1）猜想、的关系并证明； （2）若正方形边长为2，点E是的中点，求的长． 【答案】（1）猜想：且．见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质和正方形的性质及勾股定理．判定三角形全等是本题的关键． （1）先根据正方形的性质得，，则可利用“”判定，得到，，由于，所以，根据三角形内角和得到，于是得到． （2）由勾股定理得，求得，由三角形面积公式得，，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 猜想：且． 证明：∵四边形是正方形， ，． ， ． ，， 又， ． ， ．即． ．     【小问2详解】 解：∵正方形的边长为2，点E是的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 由三角形面积公式得，， ， ． 24. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】（1）倍根方程 （2）8 （3）2，4或 【解析】 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用， （1）根据方程的解，判断是否是倍根方程； （2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案； （3）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【小问1详解】 解方程， ． ∵， ∴方程是“倍根方程”； 故答案为：“倍根方程”； 【小问2详解】 解：设方程是“倍根方程”， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设一元二次方程的两个实数根分别是． ∵这个方程即是“倍根方程”又是“方根方程”， 当，即， 解得或（舍）， ∴； 当， 即， 解得或（舍）， ∴． ∴这个方程的根是2，4或，． 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1），且，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【小问1详解】 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； 【小问2详解】 解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学 期中自主检测题 （第1-3章内容） 时间∶120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3. 下列命题中，正确的是（　　） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 6. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 9. 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为______． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两根，则_____． 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 15. 如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若该是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 18. 2025年1月20日，发布了其最新推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了_____人，扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为____； ②请将条形统计图（图1）补充完整； （2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 19. 如图，菱形的对角线长为，周长为，求对角线的长． 20. 已知关于方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； （3）若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 23. 如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连结、交于点O． （1）猜想、的关系并证明； （2）若正方形边长为2，点E是的中点，求的长． 24. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $