5.3二元一次方程组的应用讲义（ 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

二元一次方程组的应用 5.3二元一次方程组的应用 （30分提至70分用） 目录 复习 代入消元法 课前复习 加减消元法 新课探索 解决实际问题的一般步骤 新课探索 工程问题 销售盈亏 题型练习 方案问题 题型练习 行程问题 工程问题 数字问题 年龄问题 分配问题 销售利润问题 和差倍分问题 几何问题 图表问题 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 新课探索 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 【练习】单选题某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是( ) A 12人，15人 B 14人，13人 C 15人，12人 D 13人，14人 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 【练习】小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克?设小亮妈妈买了甲种水x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为( ) A. B C D。 三、方案问题 【练习】将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有() A 6种 B 7种 C 8种 D 9种 题型练习 1、 方案问题 1．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2、 行程问题 2．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 3、 工程问题 3．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 4、 数字问题 4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 5、 年龄问题 5．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 6、 分配问题 6．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 7、 销售利润问题 7．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 8、 和差倍分问题 8．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 9、 几何问题 9．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 十、图表问题 10．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 易错点 1. 未正确理解题意导致设未知数错误 在应用题中，未能准确找出题目中的关键量并合理设为未知数，例如将“甲比乙多5个”错误设成x=y+5，实际应为x=y-5。 2. 忽略题目隐含条件 题目中可能存在隐含的约束条件（如非负整数解），但解题时未加以考虑，导致得出不符合实际的答案。 3. 列方程时符号错误 在建立方程时，因粗心或对题意理解不清，导致正负号使用错误。例如，“甲比乙少3倍”误写为x=3y，实际应为x=y/3。 4. 混淆变量关系 当题目涉及多个变量时，未能明确各变量之间的逻辑关系，导致列出的方程组无法反映真实问题。 5. 最终答案表达不完整 仅给出数值解而忽略了文字说明，或者没有按照题目要求的形式作答，例如需要百分比却只给出了小数形式。 总结 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组的应用 5.3二元一次方程组的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 代入消元法 课前复习 加减消元法 新课探索 解决实际问题的一般步骤 新课探索 工程问题 销售盈亏 题型练习 方案问题 题型练习 行程问题 工程问题 数字问题 年龄问题 分配问题 销售利润问题 和差倍分问题 几何问题 图表问题 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 新课探索 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 【练习】单选题某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是( ) A 12人，15人 B 14人，13人 C 15人，12人 D 13人，14人 答案：C、 分析：设分配挖土x人，运土y人， 则 解得x=15 y=12∴应分配挖土15人，运土12人. 故选：C. 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 【练习】小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克?设小亮妈妈买了甲种水x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为( ) A. B C D。 答案：A、 分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得 故选：A. 三、方案问题 【练习】将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有() A 6种 B 7种 C 8种 D 9种 答案：A、 分析：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：10x+20y=100,整理得：x+2y=10,方程的整数解为,,,, 因此兑换方案有6种， 故选：A. 题型练习 1、 方案问题 1．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键． 【详解】解：设派辆大车，辆小车， 由题意（、为正整数）， 当派大车1辆时，小车辆； 当派大车2辆时，小车辆； 当派大车3辆时，小车辆； 当派大车4辆时，小车辆； 则共有4种派车方案； 故选：D． 2、 行程问题 2．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 3、 工程问题 3．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 4、 数字问题 4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 5、 年龄问题 5．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 6、 分配问题 6．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 7、 销售利润问题 7．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程组是解决此题的关键． 设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，根据等量关系列方程组解得即可． 【详解】解：设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元， 由题意，得： 解得：． ∴每张甲票、每张乙票的价格分别为10元，8元． 故选：A ． 8、 和差倍分问题 8．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 9、 几何问题 9．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 十、图表问题 10．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 【答案】C 【分析】本题考查了图表信息题(二元一次方程组的应用)，解题关键是准确列出方程组． 根据表中数据，依据“各行、各列及对角线上的三个数之和都相等”，列出方程组求解． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴，解得：， 故选：C． 易错点 1. 未正确理解题意导致设未知数错误 在应用题中，未能准确找出题目中的关键量并合理设为未知数，例如将“甲比乙多5个”错误设成x=y+5，实际应为x=y-5。 2. 忽略题目隐含条件 题目中可能存在隐含的约束条件（如非负整数解），但解题时未加以考虑，导致得出不符合实际的答案。 3. 列方程时符号错误 在建立方程时，因粗心或对题意理解不清，导致正负号使用错误。例如，“甲比乙少3倍”误写为x=3y，实际应为x=y/3。 4. 混淆变量关系 当题目涉及多个变量时，未能明确各变量之间的逻辑关系，导致列出的方程组无法反映真实问题。 5. 最终答案表达不完整 仅给出数值解而忽略了文字说明，或者没有按照题目要求的形式作答，例如需要百分比却只给出了小数形式。 总结 一、解决实际问题的一般步骤 (1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系. (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来. (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答. :直接设元与间接设元 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程 二、工程问题 1.工作量=工作效率×工作时间 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 二、销售盈亏 常见公式 1.利润=售价一进价 2.利润率=(利润/进价)×100% 3.销售额=售价×商品销售量 4.销售利润=(售价一进价)×销量 5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售. 1 学科网（北京）股份有限公司 $