专项训练10 二元一次方程组中含参数问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组含参数问题，构建“解的判定-特征应用-策略优化”三阶方法体系，通过5类题型实现知识逻辑与解题技巧的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解的情况判定|2|系数比分类讨论（唯一/无解/无数解）|从方程系数关系推导解的三种情况| |解的特征应用|4|代入消元（相反数/相等/倍数/符号约束）|解的性质与参数的关联转化| |解题策略|3|常规消元法+整体构造法（对称式求解）|基础方法到优化技巧的递进| |5类题型|18|定义/解求参数/解的情况/整数解等|题型与方法一一对应，覆盖中考核心考法|

专项训练10 二元一次方程组中含参数问题 【知识点1 二元一次方程组中含参数问题】 1. 解的情况判定：系数比定乾坤 对于方程组（含参数时，需讨论系数比）： - 唯一解（相交）：（即系数不成比例）。 - 无解（平行）： 。 - 无数解（重合）：。 > 注意：若含参数，解的情况可能随参数变化，需按上述比例关系分情况讨论。 2. 解的对称特征与正负约束 - 互为相反数：x + y = 0，代入消元求参数。 - 相等： x = y，代入消元求参数。 - 倍数关系：如x = 2y，代入求参数。 - 符号约束（如x>0, y<0 ）：先解出含参表达式，再解不等式组。 3. 解题策略：消元法与整体法 - 常规消元法： - 加减消元或代入消元，将解表示为含参代数式x = f(m), y = g(m) ； - 再根据条件（解的情况、大小关系）列方程或不等式求解。 - 整体构造法（避繁就简）： - 若问题是求含x,y的对称式（如 x+y、x-y），可不单独求x,y，而是整体相加/相减，直接得到含参表达式，简化运算。 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 1．如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组． 根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 2．若是关于x， y的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义求出参数的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义得， ，且，； ∴，， ∴， 故答案为：0． 【题型2 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 3．若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则______． 【答案】5 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：把，代入方程，得 ，即， 移项得，即， 两边同时乘以得． 故答案为：5． 4．已知是方程的解，则代数式的值是___________． 【答案】2026 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键． 将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 【题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 5．已知方程组的解是，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 7．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解． 由题意可知，方程组的解也是二元一次方程的解，说明这三个方程有公共解，因此可先联立方程求出公共解，再将解代入方程中求的值． 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴这三个方程有公共解， ∴， 解得：， 将代入得， 解得：． 故答案为：17． 【题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 9．要使方程组有正整数解，求整数a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．根据题意用a表示出y的值，进而得出符合题意的值． 【详解】解：， 由②得：， 故， 则， ∵方程组有正整数解，且a是整数 ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； 综上：满足题意的整数a的值是， 故答案为： 10．若m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 【答案】4，16或64 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，其中涉及到参数的求解，充分利用题干条件找到参数和方程组的解之间的联系是解决本题的关键；根据加减消元法，解出方程组，进而根据题干要求出满足条件的m的值，再求出即可； 【详解】解：解方程组得， 二元一次方程组有整数解， 或，解得或或， m为正整数， 或或， 4或或； 1．已知是方程的解，则（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程，计算即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故答案为：B． 2．若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需满足含两个未知数、未知数的次数均为1且未知数的系数不为0”是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分析未知数的次数和系数的限制条件，进而求解、的值． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴的系数，且的次数， 解得， ∴，， 故选：C． 3．若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 5．已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 7．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 8．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键 先通过加减消元法解方程组，得到，再分别验证各结论是否正确即可得到答案． 【详解】解：， 由①②得， 解得； 代入②得， 解得； 即方程组的解为． 方程组的解的值互为相反数， ， 即， 解得，故①正确； 当时，， ，故②错误； 由方程组的解为可知，故③正确； 将方程组的解代入， 则， 即的值与的取值无关， 无论取什么实数，的值为常数，始终不变，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 9．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 10．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 11．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 12．若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）根据关联点的定义，把代入即可求出a，b； （2）由题意可知，方程组和的解相同，联立后得出新方程组，求出x，y的值，再把x，y的值代入含有m，n的方程即可． 【详解】（1）解：∵点是方程组的关联点， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵点与点重合， ∴方程组和的解相同， 联立， 解得：， ∴， 把分别代入和 得：，， ∴，． 1．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 2．若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义． 将方程的解代入原方程，然后进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选：A． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程组解的应用及二元一次方程组的解法．将代入方程组的两个方程，构造关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，从而可求得答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 解①得，代入②得，则， ∴， 故选：A． 4．若是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值．本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入，得． ∴． 故选：A． 5．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 6．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 7．若方程 是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题关键是理解含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是二元一次方程，特别含未知数项前面的系数不为0．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 8．已知和是二元一次方程的两个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 把方程的解代入方程，得到一个关于、k的方程组，求出方程组的解，再求出的值即可． 【详解】解：和是二元一次方程的两个解， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ， 故答案为：． 9．如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键是掌握解二元一次方程组的特殊解法． 根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， 故答案为：． 11．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 12．已知关于的方程组有下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，原方程组的解也是方程的解；③无论取何值，的值始终不变．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是根据条件，求出、的表达式． 解方程组得出、的表达式，根据的值确定、的值，逐一判断即可． 【详解】解：∵， , 当与互为相反数时，，解得，故①正确； 当时，原方程组的解为，此时，故②错误； ∵，无论取何值，的值始终不变，故③正确． 故答案为：①③． 13．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 14．已知关于x，y的二元一次方程． (1)当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解． (2)试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解题意是解答的关键． （1）将原方程整理为，根据题意得到，进而解方程可得公共解； （2）根据题意，列出方程组，解方程组证明即可． 【详解】（1）解：方程 整理得：， 由条件可得， 解得， 这个公共解为； （2）解：把化为下面的形式；， ， 解得 无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解． 15．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， 方程的一组正整数解是； （2）解：由和得， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 16．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为：； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 17．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 18．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练10二元一次方程组中含参数问题 知识复盘卡 【知识点1二元一次方程组中含参数问题】 1.解的情况判定：系数比定乾坤 ax+biy=c1 对于方程组 ax+b2y=C2 (含参数时，需讨论系数比)： -唯一解（相交)： a2b2 (即系数不成比例)。 -无解（平行）： a,b2 C2 -无数解（重合）： a1_bL=CL a2b2c2° >注意：若含参数，解的情况可能随参数变化，需按上述比例关系分情况讨论。 2.解的对称特征与正负约束 -互为相反数：x+y=0,代入消元求参数。 -相等：x=y,代入消元求参数。 -倍数关系：如x=2y,代入求参数。 -符号约束（如x>0,y<0)：先解出含参表达式，再解不等式组。 3.解题策略：消元法与整体法 -常规消元法： -加减消元或代入消元，将解表示为含参代数式x=fm),y=gm): -再根据条件（解的情况、大小关系)列方程或不等式求解。 -整体构造法（避繁就简）： -若问题是求含x,y的对称式（如x+y、x-y),可不单独求x,y,而是整体相加/相减，直接得到含参表 达式，简化运算。 培优拓展训练 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★巩固提升练 【题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 1.如果2x21-3y2-5=10是一个关于x,y的二元一次方程，那么b的值是 2.若(n-1)x州-2y-2020=0是关于x,y的二元一次方程，则n”+1= 【题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 x=5 3.若关于x,y的二元一次方程3x-四=10有一个解是y=1,则a a= [x=2 4.已知=1是方程ax+by=1的解，则代数式2a+b+2025的值是 【题型3已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 mx+-ny=1 5.已知方程组 2 的解是x=3，则 3mx+ny =5 y=-2m= n= ax+y=2 x=2 6.若关于x,y的二元一次方程组 bx-y=6的解是y=-4:则a 9a=—’b= 【题型4已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 3x+y=2k 7.若关于，y的二元一次方程组2x-y=3%的解满足3x-2y=10,则k的值为 2x-y=5 8.若关于x,y的二元一次方程组 4x+7y=2m-3的解也是二元一次方程x+y=6的解，则m的值为 【题型5已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 2x+ay=16 9,要使方程组x-2y=0有正整数解，求整数a的值是 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mx-2y=10 10.若m为正整数，已知二元一次方程组3x-2y=0有整数解，则m: ★能力培优练 [x=2 1.已知y=-1是方程x-y=1的解，则a=（） A.1 B.-1 C.3 D.-3 2.若方程+y=5是关于x,y的二元一次方程，则m、n的值分别是() A.m=1,n=1B.m=0,n=0 C.m≠0，n=1D.m=1,n≠0 3x-y=4k-5 3.若方程组12x+6y=k 的解满足x+y=2024,则k等于（） A,2024 B.2025 C.2026 D.2027 ax+by=3 x=2 x=3 4.己知方程组5x-y=1,小明同学正确解得 y=3, 而小红同学因粗心把。看错了，解得y=6:由此 可判断a,b,c的值为() A.a=3,b=-1,c=-3 B.a=3,b=-1,c=3 7 C.a=3'b=-1'c=3 D.a=-3’b=1'c=3 5.已知方程2x3-(亿-2)y=4是关于x,y的二元一次方程，则a-2b=一 ax+by=13 x=3 6。已知关于x,y的二元一次方程组ax-7y=8的解为y=1则a-b的值是 ax+by =22 x=3 7在解关于xy的方程组cx+7y=8时，甲同学正确解得=2：乙同学把。看错了，得到的解为 x=-2 y=6，那 么a-b+e的值为 x+5y=8-a 8。已知关于xy的二元一次方程组3x-y=7a，下列结论中：①当这个方程组的解xy的值互为相反 专：②当。1叶，方程距的解也是方程+y=2+口的解：③老用。太示)，则y2。:① 4 数时，a=一 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无论a取什么实数，5x+17y的值始终不变.正确的有 一.（填序号） 9.对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ar+by,x⊕y=ar-by,其中a,b是常数.已知1#1=l, 3⊕2=8 (1)求a,b的值： xHy =4-m (②若关于x'y的方程组x©y=5m的解也满足方程x+y=3,求m的值： x+2y=6 10.已知关于xy的方程组 2x-2y+mx=8· (1)请写出方程x+2y=6的所有正整数解。 (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值， (3)当m每取一个值时，2x-2y+mx=8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解. 11.运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷.例如：已知x2-2x=4,求 2x2-4x+2024的值.解：2x2-4x+2024=2(r2-2x+2024,当x2-2x=4时，原式=8+2024=2032. 请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若m+2n=-1,则3m+6n+4= ax+3y=10 x=2 a(m+n)+3(m-n)=10 (2)若关于x,y的方程组 cx+by=6的解为 =4现有关于m,”的方程组b(m-m)+cm+m)=6,求代 数式m2-n2的值。 12.若平面直角坐标系上点P(x,y)的横、纵坐标满足关于x,y的方程组，则称点P为该方程组的关联点， 2x-y=3 如点N(2,1)为方程组x+y=3的关联点. 5x-y=a 0)若点E(2,3)为关于x,y的方程组3x-by=3的关联点，则。 = b= 5x+2y=1 ②)己知点4，y)为关于x,y的方程组 3x-y=3m+2的关联点，点B(飞，y)为关于x,y的方程组 [x+2y=-n+2 x-3y=7 的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m,的值. 4/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★创新拓展练 1,关于x,y的方程5x-3y=7是二元一次方程，则a的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 x=-2 2.若y=2是关于x,y的二元一次方程x-3y=2的解，则m的值为（） A.-4 B.4 C.-8 D.5 x=1 3x+m=y 3。已知y=1是二元一次方程组x+m=n的解，则m+n的值是（） A.-3 B.-2 C.3 D.5 x=2 4,若y=-1是二元一次方程x+y=2的一个解，则2a-b-4的值是（) A.-2 B.2 c.-1 D.1 x+ay=5 5.关于xy的方程组y-x=1有正整数解，则正整数。为（） A.1或2 B.2或5 C.1或5 D.1或2或5 2x+y=1 6。若关于x,y的方程组(3k+1)x-y=3无解，则k的值为（） A.-1 B.1 C.3 D.5 7.若方程(a+3)x+3y2=1是关于x,y的二元一次方程，则a的值为 「x=2「x=4 8.已知少=-2和=2是二元一次方程y=x+b的两个解，则k+b= x=a 9,如果y=b是方程x-3y=-3的一个解，那么代数式5+4-36的值是 [x+4y=2k+1 10.已知关于x,y的方程组2x-y=1的解互为相反数，则k的值是 x-y=2 11.已知方程组 mx+y=6有非负整数解，则正整数m的值有一个. x+3y=4-a 12.已知关于x,y的方程组x-y=3如有下列结论：①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时， a=-2;②当a=1时，原方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；③无论a取何值，x+2y的值始终不变. 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的是 (填序号) x+2y=3 13.己知关于x,y的方程组x-2y+mx=-5: ()请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解. (②)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求的值。 14.己知关于x,y的二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+a-1=0 (1)当α每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解. (2)试说明：无论α取何值，该公共解都是原二元一次方程的解. x+2y=5 15.已知关于xy的方程组m-2y+mx+9=0 (1)请写出方程x+2y=5的一组正整数解： (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值： (3)不管m取任何值，方程m-2y+mx+9=0总有一个公共解，请直接写出这个解. l6.阅读理解：我们把关于字母x、y的二元一次方程ar+by+c=0的系数a、b、c称为该方程的伴随数， 记作(a,b,c).例如：二元一次方程5x-y+3=0的伴随数是(5，-1,3)， (1)二元一次方程2x-3y=-4的伴随数是 「x=1「x=2 (2)已知关于xy的二元一次方程的件随数是(2，m,n)且=2：y=-1是该方程的两组解，求m`n 的值. x+2y-6=0 17.已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+2=0· (①)当m=4时，x-y的值为 (2)若x和y互为相反数，求m的值： (3)无论m取何值，方程x-2y+m+2=0总有一个恒定不变的解，该解为 x+y=4① 18.(1)观察发现：材料：解方程组3(x+)+y=14②· 「x=2 将0整体代入②.得3x4+y=14解得y=2,把y=2代入①，得x=2所以=2，这种解法称为 “整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 617 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-y-1=0① 请直接写出方程组14(x-y)-y=5@的解为一： ( 2x-y-2=0 (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x-y+1 +x=3 3 [2x+y=-3m+2 (3)拓展运用：若关于x'y的二元一次方程组x+2y=7的解满足x+y>-1,请直接写出满足条 件的m的所有正整数值 717