精品解析：云南省昭通市昭阳区正道中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题

2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习 八年级数学（2） 【命题范围：第13章至15章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 今年来，China Travel持续走热．数据显示，三季度免签入境外国人488.5万人次，同比增长了78.6%．国外游客不再满足于走马观花式观光，更多人将体验中华文化作为主要目的，欣赏山河之美、人文之美、文明之美．China Travel的热潮是多方面因素共同作用的结果．它不仅反映了中国在国际上的影响力，也展示了中华文化的独特魅力．其中488.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在AI技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点．下列热门AI语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有4条线段的长度分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作（ ）个不同的三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 5. 如图，在等腰中，，，点是延长线上一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 生活情境·民族服饰 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（ ） A. 6067 B. 6070 C. 6073 D. 6076 9. 在中，．下列数轴中，表示a的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 12. 如图，在中，，，于点，是的平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 14. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 15. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若点和点关于轴对称，则点在第______象限． 17. 如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 18. 南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 19. 已知中，为边上的高，若，，，则的面积为_____. 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 22. 如（图1）是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，（图2）是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数． 23. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 24. 如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 25. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 26. 综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 27. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习 八年级数学（2） 【命题范围：第13章至15章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 今年来，China Travel持续走热．数据显示，三季度免签入境外国人488.5万人次，同比增长了78.6%．国外游客不再满足于走马观花式观光，更多人将体验中华文化作为主要目的，欣赏山河之美、人文之美、文明之美．China Travel的热潮是多方面因素共同作用的结果．它不仅反映了中国在国际上的影响力，也展示了中华文化的独特魅力．其中488.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将488.5万用科学记数法表示为； 故选C． 2. 在AI技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点．下列热门AI语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 有4条线段的长度分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作（ ）个不同的三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），验证所有可能的三边组合，判断是否能组成三角形． 【详解】解：所有可能的三边组合有4种： 1．，，： ∵，且， ∴能组成三角形． 2．，，： ∵， ∴不能组成三角形． 3．， ， ： ∵，且， ∴能组成三角形． 4．，： ∵，且， ∴能组成三角形． ∴能组成三角形的组合有3个， 故选C． 4. 如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 米， ∴A，B两点间的距离为米， 故选：C． 5. 如图，在等腰中，，，点是延长线上一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，根据三角形外角的性质，结合等腰三角形的性质，计算即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 7. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 8. 生活情境·民族服饰 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（ ） A. 6067 B. 6070 C. 6073 D. 6076 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的规律探究、代数式求值等知识点．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为第n个图案由个基础图形组成，将2025代入计算即可． 【详解】观察图形，可知： 第1个图案由4个基础图形组成，即， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，即， ⋯⋯， 第个图案的基础图形的个数为：． 所以第2025个图案的基础图形的个数为：． 故选：D． 9. 在中，．下列数轴中，表示a的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系及在数轴上表示不等式的取值范围，解题的关键是正确利用三边关系列出不等式． 首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：中，， ∴， 解得：， A符合． 故选： A． 10. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 11. 如图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12. 如图，在中，，，于点，是的平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的角平分线的定义和高线的定义，先由和求出，然后由平分求，再结合求，最后求得解答即可． 【详解】解：，， ． ， ， ， 平分， ， 故选：B． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 14. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据“每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 依题意得：． 故选：B． 15. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若点和点关于轴对称，则点在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴在第一象限， 故答案为：一． 17. 如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 19. 已知中，为边上的高，若，，，则的面积为_____. 【答案】28或8 【解析】 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、立方根与算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算乘方、立方根与算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 22. 如（图1）是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，（图2）是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用．过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 23. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 24. 如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质及判定是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，得到，从而，即可得是等边三角形； （2）由是等边三角形得到，证明，得到，从而，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 25. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）9 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ． 26. 综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨 （2）共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键． （1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据材料一建立方程组，解方程组即可得； （2）先求出，则可得必须是3的倍数，分别求出符合条件的的值，再根据材料二求出对应的租车费，由此即可得． 【小问1详解】 解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． 【小问2详解】 解：∵该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物， ∴， ∴， ∵都是正整数， ∴必须是3的倍数， ∴有三种方案：①当时，，此时租车费为（元）； ②当时，，此时租车费为（元）； ③当时，，此时租车费为（元）； ∵， ∴租用型车2辆，型车7辆最省钱，最少租车费为10400元． 答：共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元． 27. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2） 成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3） 不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $