精品解析：贵州省兴义市第八中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

兴义市第八中学2025-2026学年高二上学期10月 数学检测试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解. 【详解】由题意可得，故的实部和虚部分别为1，2，其之和为3． 故选:D． 2. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判定即可. 【详解】如图所示正方体中， 若直线分别对应，底面对应，显然有， 但，即A错误； 若底面对应，侧面分别对应，显然有， 但，即B错误； 同上假设底面对应，侧面分别对应， 则直线分别对应，显然三条直线两两垂直，即D错误； 由面面平行的性质可知C项正确. 故选：C 3. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设， 则由得， 由得 因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 4. 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可. 【详解】 则点到平面的距离为 故选：D 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 D. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 【答案】C 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得； 【详解】解：这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 故平均数为，众数为和，中位数为，故A错误； 方差为， 因为，所以第60百分位数为，故B错误； 如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为， 此时的方差为，故C正确； 对于D：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D错误； 故选：C 6. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角 【详解】解：设直线的倾斜角为， 由直线得其斜率为， 所以， 因为，所以， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题 7. 如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出. 【详解】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据可知直线是图象的一条对称轴，从而可知，求出，再根据正弦型函数在时取得最大值，列出方程，即可解题. 【详解】∵， ∴是的一个最大值点，即直线是图象的一条对称轴， 又， ∴，则， ∴， 又∵在时取得最大值，可得， ∴， 又∵， ∴的最小值为13. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线与直线平行，则 D. 若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线的倾斜角相等且不重合可对A项判断；由直线和直线垂直，从而求出或，即可对B项判断；直线和直线平行，利用两直线平行知识可对C项判断；知道直线的方向向量，从而可求解出倾斜角，即可对D项判断. 【详解】对于A项：两直线的倾斜角相等且不重合，可得两直线平行，故A项正确； 对于B项：由直线和直线垂直，得：，解得：或，故B项错误； 对于C项：直线和直线平行， 当时，得直线：与直线不平行， 当时，得：， 解得：或，经检验当时两直线重合不符题意， 故，故C项正确； 对于D项：知直线的方向向量为，得：，所以得直线的斜率为，倾斜角为，故D项错误. 故选：AC. 10. 下列说法中错误的有 （ ） A. 的图像是一条直线 B. 幂函数的图像不过第四象限 C. 若函数的定义域是，则它的值域是 D. 若幂函数的图像过点，则它的递增区间是 【答案】AC 【解析】 【分析】 本题首先可根据定义域为判断出A错误，然后根据时不可能小于判断出B正确，再然后根据值域为判断出C错误，最后根据幂函数的图像过点求出函数解析式为，即可判断出D正确. 【详解】A项：因为函数的定义域为，所以图像不是一条直线，A错误； B项：若，则不可能小于，B正确； C项：当时，函数的值域为，C错误； D项：设幂函数为， 因为幂函数的图像过点，所以，，， 故递增区间是，D正确， 故选：AC. 11. 已知函数在内的三个零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，B，， 令，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，，， 解得，，，故A错误，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， ， 其中，，. 因为 ， ， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】由对立事件概率和为1求出，再根据两相互独立事件的概率公式求出，即可代入并事件的概率公式进行求解. 【详解】由题意知,, 所以. 故答案为：0.88 13. 不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线重新整理并令的系数为零，通过解方程组可得定点坐标. 【详解】将直线整理为； 直线过定点与无关，所以，且； 联立解方程组可得； 可得定点坐标为. 故答案为： 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 【答案】6 【解析】 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线所在直线的方程； （4）边上的高所在直线的方程． 【答案】（1）， （2） （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． 【小问2详解】 解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． 【小问3详解】 因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问4详解】 因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 16. （1）在中，已知，，．求． （2）在中，已知，，．求． （3）锐角中，角所对应的边分别为，，，，求； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）利用正弦定理求出，从而求出，再由两角和的正弦公式计算可得； 【详解】（1）在中，由余弦定理， 可得，所以； （2）在中，由正弦定理得， 因此. （3）在中，由正弦定理得，即，解得， 又为锐角三角形，所以， 所以 . 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案； （2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案. 【小问1详解】 因为， 所以 ，所以. 最小正周期为，令,得， 即图象的对称轴为. 【小问2详解】 由得， 因为，所以，所以； . 18. 甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. （1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； （2）请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 【答案】（1） （2）甲第一局选择和乙比赛 【解析】 【分析】（1）分两种情况，根据三局比赛的胜负情况，结合独立事件概率公式，即可求解； （2）分三种情况讨论甲最终获得冠军的概率，可得出结果. 【详解】若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况： ①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ； ②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ， 所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 . 若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 所以甲能获得冠军的概率为 ， 若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 ， 若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第问的结果 ， 因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，互斥事件的概率加法公式，考查学生的分析与运算能力，属于中档题. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】 （1）因为平面，平面，平面， 所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 又，平面，平面， 所以平面. （2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面， 可作为平面的法向量， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的正弦值为. （3）设，即，， 所以，即， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法， 向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取： 1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的垂线的交点为原点； 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标； 3、求：求出两个面的法向量； 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴义市第八中学2025-2026学年高二上学期10月 数学检测试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 3. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 4. 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 D. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 6. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线与直线平行，则 D. 若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 10. 下列说法中错误的有 （ ） A. 的图像是一条直线 B. 幂函数的图像不过第四象限 C. 若函数的定义域是，则它的值域是 D. 若幂函数的图像过点，则它的递增区间是 11. 已知函数在内的三个零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 13. 不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为________． 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线所在直线的方程； （4）边上的高所在直线的方程． 16. （1）在中，已知，，．求． （2）在中，已知，，．求． （3）锐角中，角所对应的边分别为，，，，求； 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 18. 甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. （1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； （2）请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $