浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期数学周末练6

杭州二中2025学年高一上数学周末练习6解析 1．D 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 2．C 【详解】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 3．B 【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减， 又，所以, 解不等式得,则正实数的取值范围为. 故选：B. 4．A 【详解】若，使得，则，可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，，即， 所以，的一个必要不充分条件是. 故选：A. 5．B 【详解】由题意得 ， 作出该函数的图象如图，    由函数图像可得，当时，有最大值2， 故选：B 6．B 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 7．D 【详解】当时，，则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D 8．C 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 9．AD 【详解】当时，,解得； 当时，，解得； 综上，或． 故选：AD． 10．ABD 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 11．BCD 【详解】，令，， 则，即，， 当时，，无最小值，即，， 此时不存在正数使得总成立，故不是定义域为有界函数，A选项错误. ，有，所以，是定义域为有界函数，B选项正确； ，令， 当时，函数有最小值， 即，有，所以， 故函数是定义域为有界函数，C选项正确； ，有，所以，是定义域为有界函数，D选项正确； 故选：BCD 12． 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根且， 所以，解得， 则， 令，解得， 所以函数的定义域为， 因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增， 所以的增区间为（开闭均正确）. 故答案为：. 13．11 【详解】由题意知， ①当时， ，，， ②当时， ，，， ③当时， ，，， ④当时， ，，， ⑤当时， ，，， 故中所有元素的和为. 故答案为：11． 14． 【详解】对任意两个不等实数，由可得即， 则在上单调递增， 则取任意，，有， 又. 则，即，对任意恒成立， 注意到，则. 故答案为：. 15．(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 16．（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 17．(1) (2) (3)9 【分析】（1）利用不等式计算即可； （2）根据基本不等式“1”的用法，将小问中分母与构造为相乘可约的形式； （3）根据化简式子，再根据不等式求出最小值. 【详解】（1） 当且仅当取到最大值 （2） 当且仅当，时取到最小值 （3） 当且仅当时取到最小值9 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）配方后，由函数在区间上不单调性得到不等式，求出实数的取值范围； （2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值； （3）法一：在（2）基础上得到，参变分离后得到，由基本不等式求出的最大值，从而求出的最小值； 法二：在（2）基础上得到，先得到，再根据对称轴分和两种情况，结合函数单调性得到的最小值. 【详解】（1）， 要使函数在区间上不单调， 则，且， 解得:， 实数的取值范围是； （2）由（1）知， 所以函数图象开口向上，对称轴方程为， 当即时，函数在区间上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为； 当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，的最小值； 当时，函数在区间上单调递减， 当时，取得最小值，最小值为 综上所述，； （3）法一：由，易知， ∵恒成立， ∴， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴， ∴， ∴的最小值为. 法二：由，易知， ∵恒成立， ∴， 当，即时，令，此时在上单调递增， 只需，解得， 当，即时，此时，不合要求，舍去， 综上， ∴的最小值为. 19．(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【详解】（1）由， ， 所以， 故集合是“完全集”. （2）由题设，令， 则，是方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3）不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年高一上数学周末练习6 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 3．函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．若对任意实数，规定，则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数，若，则x的可能取值为（    ） A．1 B． C．5 D． 10．已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，若对任意，都存在正数使得总成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为 . 13．对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，，则中所有元素的和为 ． 14．已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 16．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 17．已知a，b为正实数且，求下列式子的最值 (1)求的最大值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 18．已知二次函数. (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值； (3)在（2）的条件下，恒成立，求的最小值. 19．已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； (3)若为“完全集”，且，求. 学科网（北京）股份有限公司 $