精品解析：黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 函数的图象的一个对称中心可以是点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A B. C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 11. 已知函数，若，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数________． 13. 如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 14. 已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为__________. 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的顶点为直角坐标系的原点，始边为轴的非负半轴，终边过点. （1）求； （2）若，求. 16. 如图，函数的图象经过点和.将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域. 17. 已知函数，且. （1）若的图象过点，解不等式； （2）若，求的取值范围. 18. 如图所示，在扇形中，，分别是的中点，点E为弧上一点，过E作与平行的直线交弧于另一点为线段的中点．设． （1）当为何值时，四边形为矩形？ （2）记四边形面积为S，求S关于的函数关系式，并求S的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的定义求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 2. 已知，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】直接由三角函数在各象限的符号取交集得答案. 【详解】根据三角函数的定义，由，可得为第二或第四象限角； 由，可得为第一、第四象限及轴非负半轴上的角， 取交集可得，是第四象限角． 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，令即可得解. 【详解】函数，有， 令，得，解得. 故选：C. 4. 函数的图象的一个对称中心可以是点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切函数图象的对称性，求得函数的对称中心. 【详解】令，则， 令，则，所以图象的一个对称中心为 令，则，所以图象的一个对称中心为. 故选：D. 5. 已知，若，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】法1，令，根据函数奇偶性，即可求得结果； 法2：由，得，代入中求值即可. 【详解】法1：令，则， 定义域为R，，为奇函数， 所以，所以， 所以. 故选：B 法2：由，得，即， 所以. 故选：B. 6. 已知是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和导数之间的关系，有在上恒成立，再利用判别式可得结果. 【详解】，， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件定义，举出反例可得A、B；结合指数函数单调性解出不等式后可得C；利用对数函数单调性可得D. 【详解】对A：取，，有，故由不能得到， 故“”不是“”成立的一个充分不必要条件，故A错误； 对B：取，，有， 故由不能得到， 故“”不是“”成立的一个充分不必要条件，故B错误； 对C：若，则， 故“”是“”成立的一个充要条件，故C错误； 对D：若，则，即， 由“”是“”成立的一个充分不必要条件， 故“”是“”成立的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用所处象限结合同角三角函数基本关系可得，再利用三角恒等变换计算即可得解. 【详解】由，，则，故， . 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断选项A；由幂函数的单调性比大小判断选项B；利用基本不等式求和的最小值判断CD选项. 【详解】由，得，所以，即，故A正确； 因为函数是上的增函数，所以当时，，故B正确； 由，有，所以， 当且仅当时等号成立，但，故等号不成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若，，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，则 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：可化为，结合正弦函数值域可得存在，使得，即可得A；对B：结合定义域与正弦函数图象计算即可得；对C：表示出后代入计算即可得；对D：结合正弦函数图象可得，再分的不同取值计算即可得. 【详解】对A：由， 则， 化简得， 由，则、， 则恒有，即，故A正确； 对B：若，需存在，使得， 当时，，则有， 解得，即的取值范围为，故B错误； 对C：由，则， ，且， 则，且， 故， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：若，则， 则，， 即有，， 有，解得，即， 若，则，又，解得； 若，则，又，解得； 又时，有，即， 故时，符合要求； 综上所述：的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则，又， 则曲线在点处的切线方程为， 化简得，则，故. 故答案为：. 13. 如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，利用弧长公式得到扇形的半径，从而得到等边三角形的面积，阴影部分的面积用扇形面积与等边三角形面积表示即可求解. 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 故答案为： 14. 已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】代入对称中心得到，根据得到，从而得到，再根据平移原则得到，从而得到，最后利用余弦函数的性质即可得到的最大值. 【详解】因为点为曲线的一个对称中心，所以， 所以，又，所以，所以， 其图象向左平移个单位长度，得. 所以， 因为在上单调递减，所以，所以，即的最大值为. 故答案：. 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的顶点为直角坐标系的原点，始边为轴的非负半轴，终边过点. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义和二倍角的余弦公式即可得到答案； （2）根据同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 由题意，得， 所以. 【小问2详解】 由题意知，所以， 又，所以，所以， 从而. 由（1）知， 所以 16. 如图，函数的图象经过点和.将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据图象上点的坐标求出，然后根据图象的变化求出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求出单调递增区间； （2）先利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后根据的范围求出值域即可. 【小问1详解】 由题意，知的最小正周期，所以， 又，得，解得， 结合，得，所以. 由题意，得， 令，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得 ， 由，得，所以， 所以的值域为， 即所求函数的值域为. 17. 已知函数，且. （1）若的图象过点，解不等式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先通过函数过点求解函数解析式，进而通过函数定义域及其单调性求解不等式即可； （2）首先根据已知条件代入解方程可得：，进而将问题转化为关于的方程在上有解，最后通过求解函数的值域求得参数的取值范围. 小问1详解】 由题意知，即，所以， 又，所以，所以， 所以的定义域为，且在上单调递增， 因为，所以， 解得，或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意知，因为，所以， 由，得， 所以， 因为为单调函数，所以， 所以， 所以问题可转化为关于的方程在上有解. 令，则，又在上单调递增， 所以的值域为， 所以，所以，即的取值范围为. 18. 如图所示，在扇形中，，分别是的中点，点E为弧上一点，过E作与平行的直线交弧于另一点为线段的中点．设． （1）当为何值时，四边形为矩形？ （2）记四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求S的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，在直角中，得到，得到，根据得四边形为矩形，得到，即可求解； （2）设与交于点，求得，利用梯形的面积公式，化简得到，其中，令，求得，且，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 在扇形中，，且分别是的中点， 可得， 由且为线段的中点， 在直角中，可得，所以， 由于垂直于且经过二者的中点， 故要使得四边形为矩形，则需满足， 即，可得， 即当时，四边形为矩形. 【小问2详解】 解：由（1）知，且， 如图所示，设与交于点，则， 因为，所以， 所以四边形的面积为 ，其中 令，因为，可得， 所以，且，则， 所以，其中， 当时，，即四边形面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分及讨论即可得； （2）（i）结合（1）中所得单调性，分及讨论后利用最小值需小于零，结合零点存在性定理即可得解；（ii）当时，只需证明，构造函数求导后结合单调性即可得；当时，结合零点所在区间即可得. 【小问1详解】 ， 当时，，则，故在上单调递增； 当时，令，解得或（负值，舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）若，在上单调递增，不可能有两个不同零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则有，即， 解得，即， 又时，，， 故存在，使得， 即的取值范围为； （ii）由，则，由，则， 若，即时，有， 要证，只需证， 又，即只需证， ， 令，， ， 令，，则， 则在上单调递减， 又， 则当时，，故在上单调递增， 又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，时，， 故，则，即有，即； 若，即时， 由，，， 故，故； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $