精品解析：河北冀州中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期月二考试 高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的平移可得，进而求解即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A. 3. 已知“”，“”，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，明确条件对应的集合，根据集合之间的包含关系确定的关系. 【详解】解不等式得； 解不等式得. 因为⫋，所以是的充分不必要条件. 故选：B 4. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 5. 已知函数，则 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及正负值即可通过排除求解. 【详解】的定义域为全体实数， 且，故为奇函数，图像关于原点对称，此时可排除AC, 又故，此时可排除D, 故选：B 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出对四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和向量的坐标表示求出点坐标，可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；根据复数运算和纯虚数的定义可判断C；根据复数乘法运算和复数的几何意义可判断D. 【详解】对A，由复数可得点， 设，则，即， 解得，所以，正确； 对B，的共轭复数为，错误； 对C，，是纯虚数，正确； 对D，复数，对应点为，在第四象限，正确. 故选：ACD 10. 已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合与周期性，可判定C错误，求得，进而可判定D正确． 【详解】由题意知，得， 的图象关于直线对称，则， 所以，所以，所以A错误； 又由，因为关于点中心对称， 所以，所以， 又因为，则， 所以， 所以是以4为周期的周期函数，又，即， 所以，所以B正确； 由，所以C错误； 因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：BD． 11. 已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意分析的图像，令，由零点个数可确定有2个不同的实数解，且，再由二次函数零点分布求解即可. 【详解】令，则方程，即， 由题可得，在上单调递减，在上单调递增， 据此作出函数的大致图象，如图1所示， 作直线，则当或时，直线与曲线有1个交点； 当或时，直线与曲线有2个交点； 当时，直线与曲线有3个交点． 作出函数的可能的大致图象，如图2，横轴为轴，纵轴为轴， 所以要使方程有6个不同的解， 则有2个不同的实数解，且， 则，解得. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题；每小题5分，共15分.将答案填写在答题纸上） 12. 设，，，则a，b，c的大小关系为______用“”号连结 【答案】 【解析】 【详解】∵，， ∴ 故答案为 13. 若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，分类讨论底数范围作出函数图象，数形结合计算参数即可. 【详解】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立， ①当时，在内，，，∴不成立； ②当时，作出函数与的图象， 由图可得，要使在内恒成立， 必须满足，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最大值解决. 【详解】由求导得：， 依题意，在上恒成立，即在上恒成立． 设，易得在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）已知函数. ①求函数在处切线的方程； ②求函数的极值. 【答案】（1）； （2）①；②极大值为6，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及根式的性质计算即可； （2）①利用导数的几何意义求解切线方程； ②由导数判断其符号，然后根据极值的判断方法求出结果． 【详解】（1） ． （2）①已知，则， 所以在处的切线斜率， 又，即切点坐标为， 所以切线方程为即． ②由①知． 令，即，解得或． 当时，，当时，， 当时，． 所以在处取得极大值，； 在处取得极小值，． 所以函数的极大值为6，极小值为． 16. 设. （1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）若，函数在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）把代入，分类讨论求解二次函数在上的最小值问题. 【小问1详解】 当时，函数 不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，其图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， ，解得，不符合要求； 当，即时，函数在上单调递减， ，解得，不符合要求； 当，即时，，解得或，则， 所以的值是3. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设函数，若函数的图像总在函数图像的下方，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的性质，结合的正负性分类讨论进行求解即可； （2）利用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质研究新函数的单调性，利用新函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，时，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，即，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以． 18. 记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的取值范围 （2）若，，求面积的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围； （2）根据二倍角公式和辅助角公式先得，由正弦定理表示，再由三角形面积公式列式，根据三角函数恒等变换即可得到面积的范围. 【小问1详解】 因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是； 【小问2详解】 因为， 根据二倍角公式得， 也就是， 所以，则， 由于锐角三角形，所以，则， 则，得， 由正弦定理， 得， ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则，所以. 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 【答案】（1）证明：构造，当时，，． 可知，，单调递增； ，，单调递减． 则，故，即， 所以． （2） （3）证明：由（2）中结论，有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，，，可得， ，……， 累加可得证毕． 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）设，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可； （3）根据（2）的结论得出，利用放缩法累加即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，设， 则， 且有，． （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，， 单调递增，． （iii）当，时，，则单调递增，，，则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件． 综上所述，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期月二考试 高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知“”，“”，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，则 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出对四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 10. 已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题；每小题5分，共15分.将答案填写在答题纸上） 12. 设，，，则a，b，c的大小关系为______用“”号连结 13. 若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5个小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）已知函数. ①求函数在处切线的方程； ②求函数的极值. 16. 设. （1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）若，函数在上的最小值为，求的值. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设函数，若函数的图像总在函数图像的下方，求a的取值范围． 18. 记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， （1）若，，求的取值范围 （2）若，，求面积的取值范围 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $