专题05 椭圆、双曲线离心率题型归纳 讲义——2026届高考数学二轮专题复习

专题05 椭圆、双曲线离心率题型归纳 题型一 利用a、b、c的方程思想 3 题型二 利用直角三角形勾股定理关系 12 题型三 利用正弦定理求解 19 题型四 利用余弦定理求解 28 题型五 在三角形中应用双余弦定理 38 思维导图 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴： x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 3．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 4．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长： 2a；虚轴：线段B1B2，长： 2b，实半轴长： a，虚半轴长： b 离心率 e＝∈ (1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 题型一 利用a、b、c的方程思想 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·福建�高三校联考阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为，，直线过点交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用椭圆定义及已知，结合余弦定理可得，再利用定义可得，从而得到e. 【详解】由① 得：代入，， 整理得：， 代入①式得：， 不妨设：，，，， 则， 故点为椭圆顶点，. 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，考查了椭圆定义的应用及焦点三角形的周长，涉及到余弦定理的应用，属于中档题. 2．（2025下·湖北荆门�高三统考期末）已知双曲线的焦距为，若取得最大值时，双曲线的离心率等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式可得当时取得最大值时，再利用离心率计算公式即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立取得最大值， 此时即， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 3．（2025上·湖北�高三校联考期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率，求出，可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 二、多选题 4．（2025上·广东中山�高三中山一中校考阶段练习）已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4 【答案】AD 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为， 所以A正确，B、C不正确； 又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点， 不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：AD. 5．（2025下·广西南宁�高三南宁三中校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形内切圆的圆心在长轴的射影为顶点. 三、填空题 6．（2025·湖南常德�校考模拟预测）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】过点作轴，垂直为，由三角形相似得到点的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】， 设， 过点作轴，垂直为， 如图 由且＝2， ，， 代入椭圆方程得， 解得：. 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点的坐标，属于中档题型. 7．（2025·江西上饶�校联考模拟预测）设､是双曲线的左､右焦点，为坐标原点，若上存在点，使得，且，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意作出图示，在中根据余弦定理以及根据求解出的长度，由此可求解出的关系，从而离心率可求. 【详解】如下图所示：不妨设为第一象限内的点， 因为在中，由余弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以， 所以，所以，所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率的值或范围的常用方法： （1）根据双曲线的方程直接求解出的值，从而求解出离心率； （2）构造关于的齐次方程，求解出的值，从而离心率可知； （3）根据离心率的定义以及双曲线的定义求解离心率； （4）利用双曲线及图形的几何性质构建关于的不等式，从而的范围可求. 四、解答题 8．（2025·上海普陀�统考一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】【小题1】 【小题2】见解析 【小题3】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【详解】（1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 题型二 利用直角三角形勾股定理关系 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 3．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合等腰三角形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为点在椭圆上， 所以，又因为， 所以， 在等腰三角形中，，底边， 过作，垂足为， 由已知可知点到直线的距离为．所以有， 由勾股定理可知：， 而，化简得： （舍去），或， 即， 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式可得，从而求出的值，由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，又， 故，当且仅当时，等号成立， 则，故，， 所以C的离心率为 故选：B 5．（2025·广东广州·三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的一条渐近线是，则它与椭圆在第一象限的交点记为A， 椭圆的左右焦点记为F1、F2，则根据正六边形的性质知是直角三角形，且 设，所以. 由椭圆的定义，得出， 所以椭圆的离心率． 故选:B． 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 又，所以，即， 整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率大小为3 .故选：A. 7．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 二、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，是上一点，，且、、成等差数列，求的离心率． 【答案】 【分析】由双曲线的定义得出，结合勾股定理得出，再由已知条件得出，即得出，由此可得出双曲线的离心率的值. 【详解】因为点在双曲线上，且， 所以，所以，    由勾股定理可得，即， 所以， 又因为、、成等差数列，故，即， 因此双曲线的离心率为. 题型三 利用正弦定理求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·江西九江�统考三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 2．（2025上·四川绵阳�高二绵阳南山中学实验学校校考期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知得出，根据勾股定理得出.根据离心率公式，结合椭圆的定义，即可得出.根据焦点即可得出答案. 【详解】    由正弦定理得. 又，则， 又，得， 所以，，， 所以椭圆C的离心率. 又，所以. 故选：A. 二、多选题 3．（2025·全国�高三专题练习）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】BC 【分析】利用双曲线的定义，结合图形，利用图形的几何性质构造的关系，转化为关于的方程进行求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， ∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，， ∵， ∴点在双曲线的右支，设的内切圆半径为， 则， 设，则， ∵，即， ∴，设外接圆的半径为R， 由正弦定理有：，即， 即的外接圆半径为， ∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍， ∴，即， ∴，∴或. 故选：BC． 4．（2024上·重庆�高三重庆南开中学校考期中）如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（    ） A．   B．曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据离心率的定义判断A；根据曲线的切线性质判断B；根据椭圆和双曲线的定义判定C；根据焦点三角形的面积求解即可判断D 【详解】因为三条曲线有相同的焦点，且，所以，故A错； 曲线E在点Q处的切线为的顶角的外角平分线，曲线在点Q处的切线为的顶角的内角角平分线，所以两条切线垂直，故B对； 设，由椭圆和双曲线定义可得， 又， 所以，故C对； 设与交于点H， 则，故D对， 故选：BCD 三、填空题 5．（2025上·安徽合肥�高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在山脚处测得山顶处的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走米后到达山坡上的处，在处测得山顶的仰角为，则山高为 米. 【答案】 【分析】利用正弦定理结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题知， 如图，在中，， ， ， 在中，根据正弦定理， 即，， 又， 山高米. 故答案为： 6．（2025下·陕西安康�高二统考期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为 ，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为 【答案】 / 【分析】由题意可得的离心率，不妨记点在轴上方,再根据过的斜率为，余弦定理求解，求解半径. 【详解】由题意可得的离心率为， 不妨记点在轴上方，则， 由可知，解得，， 故可知点到直线的距离， 设，则，由余弦定理知， 即，解得， 故，所以，故， 设则故， 即，解得， 故，， 在中，利用正弦定理得，代入数据得. 故答案为：；. 四、解答题 7．（2024·全国�高三，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以, 所以的余弦值为. （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 题型四 利用余弦定理求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（2025·全国·模拟预测）设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，根据题意得到，得．结合，得到即可得到结论. 【详解】过作， 由题意知． 因为，所以四边形为正方形， 得． 由双曲线的定义可得， 即，所以， 得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到， 所以． 故选：A．    2．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 3．（2025·河北�校联考模拟预测）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得、的长，根据三角函数定义，求得根据余弦定理，可求得，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以，则， 由椭圆的定义可得， 所以， 因为， 所以，解得，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，即， 所以 所以. 故选：C 4．（2025上·福建福州�高三福建省福州第一中学校考期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图， 由，得，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，由梯形的高为，得， 在中，，则有，， 在中，设，则，， 即，解得， 在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率. 故选：A 二、多选题 5．（2025上·山东济南�高三济南外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据，结合双曲线定义得到，然后在中，结合利用余弦定理求解. 【详解】， 由双曲线定义可知：， ， 由，得， 在中，由余弦定理可得：， 解得，或， 或， 或， 或， 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，离心率的求法以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．（2025上·湖北襄阳�高三襄阳市第一中学校考期末）如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率 【答案】ABD 【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出点A、B的坐标，即可得，由的取值范围即可求得的最小值，从而可判断A项，由中点坐标公式可判断点是A、B的中点，进而可判断B、C项，由余弦定理结合可求得c的值，进而可求得离心率即可判断D项. 【详解】对于A项，先求双曲线上一点的切线方程，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）. 由得：， 所以， 则在点的切线斜率为， 所以在点的切线方程为：， 又因为， 所以在点的切线方程为：， 不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点， 双曲线的渐近线方程为， 联立，所以点， 同理可得：， 则， 又因为， 所以，即：，故A项正确； 对于B项，由A项知，，， 所以点是A、B的中点， 所以，故B项正确； 对于C项，因为在点的切线方程为：， 令得，所以点， 则， 当点在顶点时，仍然满足，故C项错误； 对于D项，因为，，， 所以，， 又因为， 所以，解得：，即：， 代入得， 所以， ， 所以， 解得：，所以， 所以离心率为，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．在双曲线上一点的切线方程为.圆锥曲线中的求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解． 四、解答题 7．（2025.全国�高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以, 所以的余弦值为. （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 题型五 在三角形中应用双余弦定理 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花�统考三模）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 2．（2025上·福建福州�高三福建省福州第一中学校考期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图， 由，得，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，由梯形的高为，得， 在中，，则有，， 在中，设，则，， 即，解得， 在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率. 故选：A 二、多选题 3．（2025上·黑龙江哈尔滨�高二哈尔滨三中校考期中）已知同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若则 【答案】AB 【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合余弦定理，三角形三边关系计算即可. 【详解】对于A项，由题意可设，则，故A正确； 对于B项，在中，设，则有， 由余弦定理可知， 显然，故B正确； 对于C项，若， 结合B项及勾股定理可知， ，故C错误； 对于D项，若， 则，故D错误. 故选：AB 4．（2025上·全国�高三校联考阶段练习）已知，是双曲线：的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．离心率 D．渐近线的斜率 【答案】ABC 【解析】利用双曲线的定义，可知的长度，再用三角形的相似与余弦定理，可得的值，离心率，以及渐近线斜率. 【详解】根据题干，画出如图双曲线， 由双曲线定义可知，又，故，，故A选项正确， 又， 故，即，故，，， 在中，由余弦定理得，故B选项正确， 故在中，由余弦定理，整理得，故，C选项正确， ，故渐近线方程为，即斜率为，故D选项错误， 故选：ABC. 【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系． 四、解答题 5．（2023上·安徽芜湖�高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，过点的直线交C于A，B两点，． (1)若，的周长为18，求的值； (2)若，求C的离心率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义分别算出和的长即得； （2）首先设，则，，由，利用余弦定理可得，再利用勾股定理即可求C的离心率. 【详解】（1）由，，得，． 因为的周长为18，所以由椭圆定义可得，解得． 又，，所以，， 所以． （2）设，则，．由椭圆定义可得，． 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 又，，故，所以，， 所以，所以， 所以，即， 解得：， 所以C的离心率． 6．（2024上·上海�高二上海市川沙中学校考期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以， 所以的大小为； （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆、双曲线离心率题型归纳 题型一 利用a、b、c的方程思想 3 题型二 利用直角三角形勾股定理关系 12 题型三 利用正弦定理求解 19 题型四 利用余弦定理求解 28 题型五 在三角形中应用双余弦定理 38 思维导图 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴： x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 3．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 4．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长： 2a；虚轴：线段B1B2，长： 2b，实半轴长： a，虚半轴长： b 离心率 e＝∈ (1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 3、求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 题型一 利用a、b、c的方程思想 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·福建�高三校联考阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为，，直线过点交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025下·湖北荆门�高三统考期末）已知双曲线的焦距为，若取得最大值时，双曲线的离心率等于（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025上·湖北�高三校联考期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025上·广东中山�高三中山一中校考阶段练习）已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4 5．（2025下·广西南宁�高三南宁三中校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 三、填空题 6．（2025·湖南常德�校考模拟预测）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为 . 7．（2025·江西上饶�校联考模拟预测）设､是双曲线的左､右焦点，为坐标原点，若上存在点，使得，且，则此双曲线的离心率为 . 四、解答题 8．（2025·上海普陀�统考一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 题型二 利用直角三角形勾股定理关系 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 7．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 二、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，是上一点，，且、、成等差数列，求的离心率． 题型三 利用正弦定理求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·江西九江�统考三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 2．（2025上·四川绵阳�高二绵阳南山中学实验学校校考期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 二、多选题 3．（2025·全国�高三专题练习）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（    ） A．3 B．4 C． D．5 4．（2024上·重庆�高三重庆南开中学校考期中）如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（    ） A．   B．曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C． D．若，则 三、填空题 5．（2025上·安徽合肥�高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在山脚处测得山顶处的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走米后到达山坡上的处，在处测得山顶的仰角为，则山高为 米. 6．（2025下·陕西安康�高二统考期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为 ，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为 四、解答题 7．（2024·全国�高三，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 题型四 利用余弦定理求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（2025·全国·模拟预测）设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北�校联考模拟预测）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025上·福建福州�高三福建省福州第一中学校考期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025上·山东济南�高三济南外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025上·湖北襄阳�高三襄阳市第一中学校考期末）如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率 四、解答题 7．（2025.全国�高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 题型五 在三角形中应用双余弦定理 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花�统考三模）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025上·福建福州�高三福建省福州第一中学校考期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025上·黑龙江哈尔滨�高二哈尔滨三中校考期中）已知同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若则 4．（2025上·全国�高三校联考阶段练习）已知，是双曲线：的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．离心率 D．渐近线的斜率 四、解答题 5．（2023上·安徽芜湖�高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，过点的直线交C于A，B两点，． (1)若，的周长为18，求的值； (2)若，求C的离心率． 6．（2024上·上海�高二上海市川沙中学校考期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $