精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（六）数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（六） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 10. 定义在上的奇函数满足，当时，（为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不是周期函数 D. 函数的图象关于点对称 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 13. 已知，则的最小值是_______． 14. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 16. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图. 附：． （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到． 17. 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面. 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 19. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（六） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，∵， ∴． 故选：D． 3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 8. 体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当直角坐标系，利用向量依次求出，面的法向量，接着求出点B到面的距离和即可由锥体体积公式计算求解. 【详解】连接相交于点，连接，则由题意可知平面， 故可得两两垂直，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四棱锥底面边长为，则正四棱锥的体积为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以点B到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用中位数的定义判断出A错误；B选项，计算出，故，B正确；C选项，利用正态分布的对称性进行判断；D选项，利用得到，D正确. 【详解】A选项，从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后， 剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误； B选项，事件A，B相互独立，且，， ， 所以，故事件A，B不互斥，B正确； C选项，随机变量，，设，， 则， ， 根据原则，可知，C正确； D选项，随机变量的方差，期望， 其中，故，， 故随机变量的期望，D正确. 故选：BCD 10. 定义在上的奇函数满足，当时，（为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不是周期函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，，即，，解得b，a，即可判断A，B是否正确；由周期定义，可得C是否正确；由对称性可得D是否正确； 【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以， 当时, , 化简得 （1）， 因为 ,所以 , 又为奇函数，所以 , 所以, 所以, 则 , 当 时, , 解得 , 代入(1)得 , 对于 A，, 故A正确; 对B，, 故B正确; 对C， , 所以是的一个周期，故C不正确; 对D，,所以 , 所以 ,所以关于点对称，故D正确; 故选：ABD． 11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出、的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】对于A，由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A选项正确； 对于B，由得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B不正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以，， 所以， 由图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值， 即在第一象限部分满足， 设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C不正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同， 所以可以先求部分面积的近似值， 如图， 在（）取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以， 由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 13. 已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 14. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用求导得出的单调性，进而求解最值； （2）依题意，对任意，不等式恒成立，等价于恒成立，当最大，最小时，求出最大值，进而得到答案. 【详解】由得． 令，得， 此时单调递增，令，得，此时单调递减． 所以的最大值为． 对任意，，不等式恒成立，等价于恒成立． 当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 由题意可知，当最大，最小时，最大，所以的最大值为，所以，所以． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1:由余弦定理求，再用正弦定理求，法由正弦定理求，得到，再用和角公式计算即可. （2）由余弦定理可知,再用得到，两式结合求出再用面积公式计算即可. 【小问1详解】 法1:由余弦定理可知 又 由正弦定理知： 法2:因由正弦定理知： 【小问2详解】 由条件知：由余弦定理可知 ① ② 由①②得 16. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图. 附：． （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到． 【答案】（1） （2）列联表：  箱产量   箱产量  总计  旧养殖法         新养殖法         总计       有关 （3） 【解析】 【分析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，先根据频率分布直方图求得的估计值,再根据求的估计值. （2）根据新旧养殖法对应的频率分布直方图可得各自大于等于的箱数和小于的箱数，据此可完成列联表，再根据公式计算并与临界值比较大小，从而能判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）利用频率分布直方图可计算新养殖法箱产量的中位数. 【小问1详解】 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”， 由， 则旧养殖法的箱产量低于：， 故的估计值； 新养殖法的箱产量不低于：， 故的估计值为. 则事件的概率估计值为， 发生的概率为． 【小问2详解】 由（1）的计算可知： 旧养殖法中，小于的箱数为箱，大于或等于的箱数为箱. 记表示事件“新养殖法的箱产量低于kg”， 则， 所以新养殖法中，小于的箱数为箱，大于或等于的箱数为箱. 列联表：  箱产量   箱产量  总计  旧养殖法         新养殖法         总计       则 由， 有的把握认为箱产量与养殖方法有关． 【小问3详解】 新养殖法箱产量的中位数为. 由新养殖法的频率分布直方图可知前三组的频率之和为：， 前四组的频率之和为：， 故中位数满足，解得. 新养殖法箱产量的中位数的估计值． 17. 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， ∵是菱形的对角线，的交点， ∴，且， 又∵，且， ∴，且， 从而为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：连接， ∵四边形为菱形，∴， ∵，是的中点，∴， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面； （2）只需证明平面，即可证明平面平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】（1） （2） 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3） 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. 【小问1详解】 由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $